【复变函数与积分变换】第5章 留数理论及其应用，留数，留数的计算方法（武汉大学）

【复变函数与积分变换】第5章 留数理论及其应用，留数，留数的计算方法（武汉大学）

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/persona5joker/article/details/140647860

留数理论是复变函数与积分变换中的一个重要理论，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等领域发挥着重要作用。本文将详细介绍留数的定义、留数定理、留数的计算方法以及留数在积分计算上的应用，帮助读者深入理解这一理论的核心内容。

§5.1 留 数

1. 留数的定义

如果z0是f(z)的孤立奇点，那么对于解析圆环内包含z0的正向简单闭曲线C，上述积分只与f(z)和z0有关，而与C无关，但积分值不一定为零.

f(z)在z0的邻域内可展开成罗朗级数：

2. 留数定理

定理5.1 (留数定理)

设函数f(z)在区域D内除有有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外处处解析，C是D内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线，那么

证明：

以zk为圆心，作完全含在C内且互不相交的正向小圆Ck:|z−zk|=k,(k=1,2,…,n)，由复合闭路上的柯西积分定理，有

但

于是有

3. 留数的计算方法

(1) 如果z0为f(z)的m级极点，那么

证明：因为z0是f(z)的m级极点，故在z0的邻域中有

于是

所以

于是

4. 在无穷远点的留数

定理5.2

于是就有

§5.2 留数在积分计算上的应用

1

2

因此