数学界重大突破：华人数学家参与证明无限多个数的无理性
数学界重大突破：华人数学家参与证明无限多个数的无理性
数学家们终于找到了一种广泛适用的新方法来证明数的无理性，这一突破性进展解决了数论领域一个长期存在的难题。芝加哥大学的Frank Calegari、加州理工学院的Vesselin Dimitrov和加州大学伯克利分校的唐云清三位数学家，成功证明了无限多个类似zeta的值的无理性，这一成果被巴黎-萨克雷大学的Jean-Benoît Bost称为“数论领域的一个明显突破”。
唐云清，加州大学伯克利分校助理教授，本科毕业于北京大学数学科学学院，后在哈佛大学取得数学博士学位，2022 年成为首位获拉马努金奖的华人女数学家。
从阿培里的突破到新的证明框架
1978年，在法国马赛举办的一场大型数学会议上，数学家罗杰·阿培里（Roger Apéry）宣布了一个震惊数学界的结果：他证明了数学中最著名的数之一——zeta of 3（记作ζ(3)）是一个无理数。这个证明最初被许多人怀疑，甚至有人认为这是一个精心策划的恶作剧。但最终，阿培里的证明被证实是正确的，这标志着数论领域的一个重要突破。
当罗杰·阿培里宣布他已经证明了 ζ(3) 的无理性时，数学家们对他嗤之以鼻，并向他扔纸飞机。但事实证明他是对的。他在巴黎的墓碑上就刻有这条定理。
然而，阿培里的证明似乎是一个孤立的奇迹。尽管数学家们尝试了数十年，但没有人能够将他的方法推广到其他类似的数。直到最近，Calegari、Dimitrov和唐云清找到了一种新的方法，将阿培里的思想纳入一个更广泛的框架，从而能够证明无限多个类似zeta值的无理性。
无理性证明的核心挑战
自古希腊时期以来，数学家们就一直在探索哪些数是有理数。有理数是那些可以表示为两个整数比的数，而无理数则不能。虽然数学家们早就知道大多数数都是无理数，但具体证明一个数的无理性却异常困难。
证明一个数是无理数的基本思路是：假设这个数是有理数，然后构造一个分数序列，这些分数越来越接近这个数，但又永远不能精确达到。如果这个序列能够排除所有可能的分母，那么这个数就不可能是有理数。
新方法的突破
Calegari、Dimitrov和唐云清的新方法建立在幂级数的基础上。他们将分数序列打包成一个幂级数，通过研究这个幂级数在复数平面上的行为，来判断序列是否能够足够快地接近目标数。关键在于分析幂级数的奇点，即那些使幂级数“爆炸”到无穷的点。
研究人员发现，通过避开这些奇点，他们可以将幂级数的有效区域扩展到更大的复数区域，从而获得对系数更精细的控制。这种方法不仅证明了L(2)的无理性，还证明了一大类具有特定重复模式的zeta值变体的无理性。
未来展望
这一突破性进展为数论领域开辟了新的研究方向。研究人员预计，具有四个数字重复模式的zeta值变体可能是下一个研究目标。他们还希望能够证明卡塔兰常数的无理性，这是一个已经被研究了150多年的重要数学常数。
巴黎高等师范学院的François Charles表示：“这绝对不是故事的结束。他们的方法展示了我们可以将这类问题推进到比以前认为可能的更远的地方。”
这一成果不仅解决了数论领域一个长期存在的难题，更重要的是，它提供了一个全新的框架，有望引发更多关于数的无理性的证明。正如多伦多大学的Daniel Litt所说：“希望我们很快就会看到相关无理性证明的淘金热。”