基于贝叶斯定理的病情诊断案例分析
基于贝叶斯定理的病情诊断案例分析
本文通过一个病情诊断的案例，详细介绍了如何使用贝叶斯定理来分析和判断患者感染的疾病类型。文章从贝叶斯网络的构建开始，逐步推导出基于观测症状计算后验概率的具体方法，最后通过数学公式和图表展示了诊断结果随观测时长的变化趋势。
案例背景
已知一个患者感染了一种罕见的疾病，现医生想通过后验概率的信息来诊断患者感染的疾病类型。建立一个关于疾病类型和疾病症状的贝叶斯网络，用二元随机变量$D \in {0, 1}$表示这种疾病的两种类型，用二元随机变量$S_k \in {0, 1}, k=1,2,...,n$表示是否检测到第$k$种症状，得到的贝叶斯网络如下（节点表示随机变量，边表示随机事件之间的概率关系）：
在没有可靠证据条件下，假定该疾病的两种类型都有可能发生，且发生概率相同，即：
$$
P(D=0) = P(D=1) = \frac{1}{2}
$$
当疾病类型$D=0$时，所有的症状$k \in {1,2,...n}$均有可能被观察到，且每种症状被观察到的概率为$1/2$，即：
$$
P(S_k=0|D=0) = P(S_k=1|D=0) = \frac{1}{2}, \forall k \in {1,2,...,n}
$$
当疾病类型$D=1$时，则必定伴随着症状$k=1$被观察到，即$P(S_1=1|D=1)=1$，而症状$k \geq 2$为阳性的概率公式为：
$$
P(S_k=1|D=1) = \frac{f(k-1)}{f(k)}
$$
其中，$f(k) = 2^k + (-1)^k$。
病情诊断
如上案例背景提到的信息，我们知道在某种类型疾病发生后，观测到各种疾病症状的概率（用频率代替概率），但现在，医生希望根据积累观测到的症状，来判断患者感染的疾病类型，就需要用贝叶斯公式进行处理判读。
现在医生在某个月进行症状观测，在第$k$天时检测症状$k$，假设现在观测了$m$天，均观测到症状$S_k=1, k \in {1,2,...m}$，即积累的观测数据为${S_1=1, S_2=1,...,S_m=1}$，基于这些积累的观测数据，医生计算如下的比率来进行诊断：
$$
r_m = \frac{P(D=0|S_1=1, S_2=1,...,S_m=1)}{P(D=1|S_1=1, S_2=2,...,S_m=1)}
$$
如果该比率值大于1，则医生认为在当前观测到的症状表现下，诊断患者感染的疾病类型$D=0$的准确性更高，反之则疾病类型更有可能为$D=1$。
基于贝叶斯定理的诊断分析
贝叶斯定理利用对事件$B$的观察来更新对事件$A$发生概率的判断，通过先验概率和新观测的数据结合起来得到后验概率。在这里，我们知道疾病类型到疾病症状的概率，因此可以通过观测到的症状数据，来反过来推这些观测到的症状对应到疾病类型的概率。
$$
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
$$
根据上述的$r_m$公式，可知，$r_m$与$m$之间存在直接关系（上述仅作为举例，不一定要求观测的症状都为阳性，只需要记录到$m$个观测值）。那么$r_m$与$m$之间的公式如何？如果每次观测到的症状都为阳性，那医生是否能直接依赖于观测的天数进行诊断？
根据$r_m$的公式，通过贝叶斯定理可得：
$$
r_m = \frac{P(D=0|S_1=1,S_2=1,...,S_m=1)}{P(D=1|S_1=1, S_2=2,...,S_m=1)} \
= \frac{P(S_1=1,S_2=1,...,S_m=1|D=0)P(D=0)/P(S_1=1,S_2=1,...,S_m=1)}{P(S_1=1, S_2=2,...,S_m=1|D=1)P(D=1)/P(S_1=1,S_2=1,...,S_m=1)} \
=\frac{P(S_1=1,S_2=1,...,S_m=1|D=0)P(D=0)}{P(S_1=1, S_2=2,...,S_m=1|D=1)P(D=1)}
$$
通过全概率公式将事件拆开得：
$$
r_m = \frac{P(S_1=1|D=0)P(S_2=1|D=0),...,P(S_m=1|D=0)P(D=0)} { P(S_1=1|D=1)P(S_2=1|D=1),...,P(S_m=1|D=1)P(D=1) }
$$
根据前面得先验概率可知，$P(S_k=1|D=0) = 1/2，\forall k \in {1,2,...m}$，而疾病类型$D=1$时症状$k=1$必定为阳性，有$P(S_1=1|D=1)=1$，其余症状$k \geq 2$有：
$$
P(S_k=1|D=1) = \frac{f(k-1)}{f(k)}
$$
进一步地，根据$P(D=0) = P(D=1) = 1/2$，代入$r_m$表达式可得：
$$
r_m = \frac{(0.5)^m} { f(1)/f(m)}=f(m)(0.5)^m/f(1)=0.5^m\times[2^m+(-1)^m]
$$
将该公式画图后可知，随着观测时长越长，$r_m$的值趋向于等于1，在症状$k=1$为阳性时更倾向于诊断为疾病类型$D=1$。
当检测到症状越来越多，即观测时长拉长，比率值更倾向于等于1，在这个过程中，医生给出的诊断是否逐渐变得确定可靠。