为什么引入离心率

为什么引入离心率

离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它不仅统一了圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义，还在物理学中有着重要的应用。本文将从历史背景出发，详细介绍离心率的概念及其在圆锥曲线中的应用。

早在2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家 阿波罗尼斯 采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

①用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；

②把平面渐渐倾斜，得到椭圆；

③当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；

④用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支。

通过平面切割圆锥体，可以得到圆、椭圆、双曲线和抛物线这四种图形，虽然他们形状不同，但是本质都是“ 用一个平面切割圆锥 ”得到 ，前面介绍了这四种图形的标准方程，我们自然有一个疑问：能否通过一个定义来“定义”这四种图形？为此引入离心率。

在数学界，统一名词一直是许多科学家的梦想，特别是物理界，比如万有引力F，他的大小和两个物体的质量成正比，和距离的平方成反比，同样的，两个电荷力Q，他的大小也和两个电荷的电量成正比，和距离的平方成反比，那能否把万有引力和点电荷力统一为一种力呢？比如叫做“引力场力”，据说爱因斯坦一直想把三大引力统一为一个力，虽未成功，但仍值得学习，在学习完后圆锥曲线，我们就可以发现，使用离心率就可以统一定义圆锥曲线。

圆锥曲线的第二定义

椭圆第二定义 平面内与一个定点 $F\left(c,0\right)$ 的距离和它到一条定直线 $l:x=\frac{{a}^{2}}{c}$ 的距离之比是常数 $e=\frac{c}{a}\left(0<e<1\right)$ 的动点 $M$ 的轨迹叫做椭圆, 定点为椭圆的一个焦点, 定直线为椭圆的准线, 常数 $e$ 是椭圆的离心率。

双曲线第二定义

到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为常数 $e=\frac{c}{a}\left(c>a>0\right)$ 的点的轨迹是双曲线, 其中, 定点 $F$ 叫做双曲线的焦点, 定直线 $l$ 叫做双曲线的准线, 常数 $e$ 是双曲线的离心率。

抛物线第二定义

平面上到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距离之比为常数 $e\left(e=1\right)$ 的点的轨迹为抛物线。其中，定点 $F$ 为抛物线的焦点，定直线 $l$ 为抛物线的准线，常数 $e$ 为抛物线的离心率。

圆的第二定义

圆的第二定义可以看成椭圆的特殊情况，当$e$为零时，椭圆就变成了圆。

通过点到直线的比值，就可以统一圆锥曲线的定义，如下图。

①$e=0$ 为圆

②$0<e<1$为椭圆

③$e=1$为抛物线

④$e>1$为双曲线

离心率的发展

在离心率发展早期，人们提出离心率是为了统一圆锥曲线，后来，随着物理学的发展，特别是牛顿提出万有引力和天气运动后，离心率被赋予了更多的含义。

离心率就是在圆锥曲线顶点处曲率半径与顶点到焦点距离的比值减1，或者说圆锥曲线上动点在顶点处做离心运动时的“离心”比率。 参考下图

通俗来解释一下，以抛物线为例，上图中在焦点 $F$ 处放个恒星，行星运动轨迹为红色曲线 $C$ ，行星目前在顶点 $A$ 处（顶点也叫做近心点，这是距中心天体最近的点），二者距离为 $r$ ，在 $A$处的曲率半径为 $R$ 。经过 $A$ 后，行星做离心运动，$A$ 处瞬时半径 $R$ 相较于以恒星为圆心做圆周运动的半径 $r$ ，是其 $\frac{R}{r}$ 倍，或者说瞬时半径额外增加了 $\frac{R}{r}-1$ 倍，而这个增加的比率就是由于＂离心＂运动带来的额外增量，所以叫＂离心＂率，而离心率 $e$ 恰好等于 $\frac{R}{r}-1$。