高中数学等比数列知识点总结

高中数学等比数列知识点总结

等比数列是高中数学中的一个重要概念，它在数列的学习中占据着核心地位。本文将从定义、公式、性质等多个维度，全面总结等比数列的相关知识点，帮助读者系统地掌握这一内容。

等比数列的基本概念

1. 定义：
   如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q为非零常数)。

2. 等比中项：
   如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab。

等比数列的公式

1. 通项公式：
   an=a1qn-1。

2. 前n项和Sn：

• 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
  Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)
• 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
  Sn=na1

等比数列的特征与性质

1. 特征：

• 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数。
• 由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。

2. 性质：

• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a。
• 特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=…。
• 在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk；数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1)；an=amqn-m。

等比数列的判定方法

1. 用定义：对任意的n，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q为常数，a n ≠0) {a n }为等比数列 a n
2. 等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列
3. 通项公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列

等比数列的证明方法

依据定义：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }为等比数列 a n -1

等比数列的性质

1. 对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m 。
2. 若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，则a n a m =a s a t 。特别的，当m +n =2k 时，得a n a m =a k 2 注：a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2
3. 数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列，{k a n }，{a n k }，{k a n b n }，{n （k 为非零b n a n
   常数）均为等比数列。
4. 数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍为等比数列
5. 若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ，成等比数列
6. 若{a n }为等比数列，则数列a 1a 2a n ，a n +1a n +2a 2n ，a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比数列
7. a 1>0，则{a n }为递增数列{（9）①当q >1时，a 1<0，则{a n }为递减数列
8. a 1>0，则{a n }为递减数列{②当0
9. ③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；
10. ④当q<0时， 该数列为摆动数列。
11. 在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N *) 时，S 奇1= S 偶q