傅里叶变换的科学应用
傅里叶变换的科学应用
傅里叶变换是信号处理领域的重要工具，它能够将时间域信号转换到频率域，帮助我们更好地分析和处理信号。本文将详细介绍傅里叶变换的基本概念、计算过程及其在信号分析和滤波中的应用。
傅里叶变换简介
傅里叶变换可以将一个时间域信号变换到频率域。有些信号在时间域上很难看出特征，但是当转换到频率域一些特征就会变的明显。
一个经典的例子是无限正弦波叠加产生矩形波。这个过程可以类比为棱镜将白光分解为七色光的过程，其中白光相当于无限正弦波叠加的结果，棱镜好比傅里叶变换，七色光就是傅里叶变换的结果。
在计算机领域，我们主要使用离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。离散傅里叶变换公式如下：
傅里叶逆变换公式：
其中，欧拉公式：
FFT变换计算过程
假设有一个序列。计算过程如下：
（1）由欧拉公式，= 4 得到：
（2） 正变换结果：
（3）逆变换结果：
（4）验证，与Matlab中计算结果对比验证。
Matlab代码：
clc
clear all
x = [1 2 -1 3]
y = fft(x)
x = ifft(y)
Matlab实验结果：
自己计算的结果与Matlab计算结果一致。
傅里叶变换结果意义
傅里叶变换的一个主要应用是信号分析，分析信号的基本计算包括：将双边功率谱转换为单边功率谱、调整频率精度并绘制频谱、使用，以及将功率和振幅转换为对数单位。在继续讲解前，有必要理解几个重要概念：振幅谱、功率谱、双边、单边功率谱、直流分量（DC）、对数单位。
振幅谱可由下式计算得到：
功率：可以通过平方该频率分量的幅度来获得由DFT或FFT表示的每个频率分量中的功率，既功率是振幅的平方。
功率谱（功率谱密度)：信号的功率谱密度是描述信号中的每单位频率对应功率的函数，功率谱密度常用单位为。功率谱可由下式计算：
其中，表示的共轭复数。
双边、单边功率谱：傅里叶变换结果是关于直流分量对称的，既频率有正负之分，多数情况下无需再显示负极的频率信息。若使用Matlab做FFT变换，结果需要做fftshift后才是关于DC中心对称的。下文计算的功率谱是单边功率谱。
对数单位：振幅或功率谱以对数单位分贝的形式显示。该测量单位有助于查看宽动态范围，即可在存在较大信号分量时方便地查看小信号分量。分贝是比例单位，其计算方式如下：
其中，是测量功率，是参考功率。使用振幅值计算分贝值：
其中，是测量振幅，是参考振幅。
使用振幅或功率作为同一信号的振幅平方时，结果分贝水平是完全一致的。将分贝比乘以2，等同于将比例平方。因此，无论使用振幅或功率谱，都将得到相同的分贝水平和显示。
在双边频谱中，一半的能量显示在正频率，另一半能量显示在负频率。因此，若需将双边频谱转换为单边频谱，只要舍弃数组的第二部分，并将除DC外的每个点乘以2。
直流分量：direct current component or zero-frequency component，即信号在时间域的均值。（可验证加深理解)。
原始信号有个采样点，经过傅里叶变换后，得到个点的傅里叶变换结果，即个复数点，每一个点对应着一个频率点。
假设采样频率为，是采样间距。FFT之后某点结果用复数表示。经过傅里叶变换，我们是要探求原始信号的一些特征（振幅、相位、功率谱等信息）。
结果（除了第一个点）的振幅为其模值的倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的倍。
FFT之后某点的模值：
频率：
振幅：，，且，当时， 振幅为
相位：，为c/c++中求反正切的函数，其值在[-180,180]。
功率谱：对原始信号做傅里叶变换后振幅的平方。
功率谱定义：对于给定的信号，功率谱给出了落在给定频率范围内的信号功率（单位时间能量）图。
提示：功率谱，也叫做功率密度。有时候这两个概念貌似不同（不同领域），实质应该一致。出自《Numerical Recipes》数值方法（经典之作），第13.4节，第二段首句：
“The power spectrum (also called a power spectral density or PSD) .”
实例
定义信号：
从信号定义可知：直流分量为0.3（频率为0处），频率为50处振幅为0.7，
频率为120处振幅为1。离散数据特征，采样频率=500，采样周期，
样本数，时间向量：。
Fs = 1000; % 采样频率
T = 1/Fs; % 采样周期
L = 1500; % 信号长度
t = (0:L-1)*T; % 时间向量
S = 0.3 + 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
X = S;
plot(t,X)
xlabel('t (seconds)')
ylabel('X(t)')
title('Signal')
figure
plot(t(1:100)*1000,X(1:100));
xlabel('t (milliseconds)')
ylabel('X(t)')
Y = fft(X);
P2 = abs(Y);
P1 = P2/(L/2);
P1(1) = P2(1)/L;
f = Fs*(0:L-1)/L;
f = f-Fs/2;
P1 = fftshift(P1);
figure
plot(f,P1)
xlabel('f (Hz)')
ylabel('|P1(f)|')
图1为信号，图2为时间0至200的信号（原信号局部图），图3为经过傅里叶变换后的频谱，从频谱中可以看到，频率为0处(，数据索引)，直流分量为0.3，频率在50处()振幅为0.7，频率为处()振幅为1。
频率滤波器——信号光滑处理
傅立叶滤波器是基于对信号的特定频率的一种滤波函数。它通过采用信号的傅立叶变换，然后衰减或放大特定频率，最后逆变换结果。频率滤波器的过程就是将信号从时间域经傅里叶变换转换到频率域，乘以滤波器函数，再做逆傅里叶变换转换到空间域。有三种基础的滤波器：低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器。低通滤波器衰减高频，保持低频不变。 空间域中的结果与平滑滤波器的结果相同。另一方面，高通滤波器在空间域中产生边缘增强或边缘检测，因为边缘包含许多高频。带通衰减极低和极高频率，保留了中频范围的频率。
其中输入数据的傅里叶变换，是滤波器，是滤波后的数据，要获得空间域的数据还需要对其做逆傅里叶变换。
理想滤波器的反馈：
最简单的低通滤波器是理想的低通滤波器，下面滤波器看着是不是很眼熟，这就是方波的表达式。
滤波过程可以参考下图，右下角红色部分为滤除的高拼波。傅里叶变换后信号相比原始信号变得平滑。
低通滤波实例
从下图可以看到，低通滤波器在信号边缘会具有明显的失真。
clc
clear all
close all
% make our noisy function
t = linspace(1,10,1024);
x = -(t-5).^2 + 2;
y = awgn(x,0.5);
Y = fft(y,1024);
r = 20; % range of frequencies we want to preserve
rectangle = zeros(size(Y));
rectangle(1:r+1) = 1; % preserve low +ve frequencies
y_half = ifft(Y.*rectangle,1024); % +ve low-pass filtered signal
rectangle(end-r+1:end) = 1; % preserve low -ve frequencies
y_rect = ifft(Y.*rectangle,1024); % full low-pass filtered signal
% hold on;
% plot(t,y,'g--');
% plot(t,x,'k','LineWidth',2);
% plot(t,y_half,'b','LineWidth',2);
% plot(t,y_rect,'r','LineWidth',2);
% legend('noisy signal','true signal','+ve low-pass','full low-pass','Location','southwest')
gauss = zeros(size(Y));
sigma = 8; % just a guess for a range of ~20
gauss(1:r+1) = exp(-(1:r+1).^ 2 / (2 * sigma ^ 2)); % +ve frequencies
gauss(end-r+1:end) = fliplr(gauss(2:r+1)); % -ve frequencies
y_gauss = ifft(Y.*gauss,1024);
hold on;
plot(t,x,'k','LineWidth',2);
plot(t,y_rect,'r','LineWidth',2);
plot(t,y_gauss,'c','LineWidth',2);
legend('true signal','full low-pass','gaussian','Location','southwest')
参考：
http://cn.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html?searchHighlight=fft&s_tid=doc_srchtitle
http://vtkvc.blog.51cto.com/1533592/314665
http://blog.csdn.net/linmingan/article/details/51077437
http://mathworld.wolfram.com/PowerSpectrum.html
https://www.wavemetrics.com/products/igorpro/dataanalysis/signalprocessing/powerspectra.htm
http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/freqfilt.htm
http://blog.csdn.net/samkieth/article/details/49561539
http://195.134.76.37/applets/AppletFourAnal/Appl_FourAnal2.html