二面角的概念与计算

二面角的概念与计算

二面角是立体几何中的一个重要概念，它描述了两个平面相交时的相对位置关系。通过学习二面角，我们可以更好地理解空间图形的性质和相互关系，这对于解决实际问题和进一步学习更复杂的几何知识都具有重要意义。

二面角的定义

一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，每一部分叫作半平面（或射面）。

一条直线和过这条直线引两个半平面所组成的图形叫作二面角（如图 1.64），这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。棱为 $\ell$，面为 ${\pi }_{1}$ 和 ${\pi }_{2}$ 的二面角表示作 ${\pi }_{1}-\ell -{\pi }_{2}$，也可简记作 ${\pi }_{1}\ell {\pi }_{2}$。

在二面角 $\alpha -\ell -\beta$ 中（如图1.65）。

在棱 $\ell$ 上任取两点 $O$ 和 ${O}^{\prime }$，过 $O$ 和 ${O}^{\prime }$ 在平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 内分别引射线 $OA、O{A}^{\prime }、OB、O{B}^{\prime }$ 都与 $\ell$ 垂直，则 $OA//O{A}^{\prime },OB//O{B}^{\prime }$，则 $\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }$。因此，过二面角的棱上任一点，在每一面内引棱的垂线，这样两条垂线的夹角都相等，与顶点在棱上的位置无关。

二面角的平面角

以二面棱上任意一点为端点，在它的两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。在图 1.65 中 $\mathrm{\angle }AOB$ 就是二面角 $\alpha -\ell -\beta$ 的平面角。

平面角是直角的二面角叫作直二面角。

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。若平面 $\alpha ,\beta$ 互相垂直，则记作 $\alpha \perp \beta$。

在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的坚边画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直（如图 4．4－15）。

例题解析

例1 已知：如图 1.67，自二面角 $P-AC-Q$ 的棱上一点 $A$ 在面 $P$ 内引一条射线 $AB$，和棱 $AC$ 成 ${45}^{\circ }$ 角，和另一个面 $Q$ 成 ${30}^{\circ }$ 角，求二面角 $P-AC-Q$的度数。

解：自射线 $AB$ 上一点 $B$ 向平面 $Q$ 作垂线 $BO$，设其为长 $a,O$ 为垂足，连结 $OA$。则 $\mathrm{\angle }BAO$ 为 $AB$ 与平面 $Q$ 所成之角，等于 ${30}^{\circ }$。

在直角 $\mathrm{△}AOB$ 中，$BO=a$，所以 $AB=2a,AO=\sqrt{3}a$。

自 $O$ 点向棱作垂线 $OC$，设 $C$ 为垂足，根据三垂线定理，$BC\perp AC$，所以 $\mathrm{\angle }BCO$ 为二面角 $P-AC-Q$ 的平面角。

在直角 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }BAC={45}^{\circ },AB=2a$，

$\therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}AC=\sqrt{2}a.$

在直角 $\mathrm{△}AOC$ 中，$AO=\sqrt{3}a,AC=\sqrt{2}a$，

$\therefore \phantom{\rule{1em}{0ex}}OC=a.$

在直角 $\mathrm{△}BOC$ 中，$OC=a,BO=a,\mathrm{\angle }BOC={90}^{\circ }$

$\therefore \mathrm{\angle }BCO={45}^{\circ }$

$\therefore$ 二面角 $P-AC-Q$ 为 ${45}^{\circ }$ 的二面角。

答：二面角 $P-AC-Q$ 的度数为 ${45}^{\circ }$。