「二重积分」保姆级教程！8道题搞定！干货密集，不看后悔 |高数下

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二重积分是高等数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从二重积分的基本概念出发，详细介绍其计算方法、性质以及极坐标形式的二重积分等内容。通过多个例题和练习，帮助读者掌握二重积分的计算技巧。

1. 二重积分的基本概念

1.1 如何看懂二重积分

计算 (\iint_D xy ,d\sigma)，其中 (D) 是由抛物线 (y^2 = x) 及直线 (y = x-2) 所围成的闭区域。

1.2 二重积分的几何意义

对于任意 ((x,y) \in D)，若 (f(x,y) \geq 0)，则 (\iint_D xy ,d\sigma) 表示以 (D) 为底面，(f(x,y)) 为顶面的曲顶柱体体积。

1.3 用质量理解二重积分

若平面薄片 (D) 的面密度为 (f(x,y))，则 (D) 的质量 (M = \iint_D xy ,d\sigma)。

2. 二重积分的计算方法

2.1 X型区域的计算

设积分区域 (D) 可以表示为 ({(x,y) \mid a \leq x \leq b, \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)})，则

口诀：后积先定限，限内画直线。先交写下限，后交写上限。

2.2 Y型区域的计算

设积分区域 (D) 可以表示为 ({(x,y) \mid c \leq y \leq d, \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)})，则

Y型区域 (D)：穿过 (D) 内部且平行于 (x) 轴的直线与 (D) 的边界相交不多于两点。

2.3 计算步骤

1. 作图：画出积分区域 (D)。
2. 定序：根据 (D) 的形状和 (f(x,y)) 特点，确定后积 (x) 还是 (y)。
3. 定限：先确定外层积分的常数限，再确定内层积分限。
4. 积分：先算内层积分，再将积分结果作为外层积分的被积函数，计算外层积分。

2.4 例题解析

例1

• 画出积分区域 (D)。
• 确定积分顺序。
• 确定积分限。
• 计算积分。

例2

• 交换二次积分顺序。
• 使用表格积分法。

2.5 小练习

1. 画图像：(xy=1 \rightarrow y =1/x)，(y=x^2)：抛物线。
2. 画图像：(y=kx)，(k=1)。

3. 二重积分的运算性质

3.1 线性性

设 (k_1) 和 (k_2) 为常数，则有

3.2 区域可加性

如闭区域 (D) 被分为有限个部分闭区域，则 (D) 上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分之和。

3.3 面积性质

如果在 (D) 上，(f(x,y) \equiv 1)，为 (D) 的面积，那么

3.4 例题解析

例3

• 画图。
• 拆分区域 (D)。
• 计算面积。

3.5 小练习

根据 (y) 是否大于 (x^2) 分段，去掉绝对值。

4. 二重积分的对称性

4.1 普通对称性

• 若积分区域 (D) 关于 (x) 轴对称，被积函数 (f(x,y)) 关于变量 (y) 有奇偶性，则
• 若积分区域 (D) 关于 (y) 轴对称，被积函数 (f(x,y)) 关于变量 (x) 有奇偶性，则

4.2 轮换对称性

若积分区域 (D) 关于直线 (y=x) 对称，这种积分区域称关于变量 (x)，(y) 具有轮换对称性，则

4.3 例题解析

例4

• 添一个辅助线。
• 一次做好一件事，拆 (D)，(f) 不动。
• (D_1) 左右对称：看 (x) 奇偶性。
• (D_2) 上下对称：看 (y) 奇偶性。

例5

• (D) 关于 (y=x) 对称。
• 分母一样，((a+b)) 提出来。
• 被积函数为 1，求系数 (*d\sigma)。

5. 极坐标形式的二重积分

5.1 极坐标方程曲线

极径为 (r)，极角为 (\theta)。

5.2 极坐标形式的二重积分

令 (x = r\cos\theta)；(y = r\sin\theta)。

“三换”：

• (D_{xy} \rightarrow D_{r\theta})
• (x = r\cos\theta)；(y = r\sin\theta)
• (dxdy \rightarrow rdrd\theta)

5.3 极坐标形式的二次积分

后积 (\theta)。

极点在积分域内部：(\theta) 范围 0 到 (2\pi)。

5.4 适用极坐标形式的情形

• 积分区域 (D) 为圆域、圆环的一部分。
• 被积函数形如。
• 积分区域 (D) 由射线围成。

5.5 例题解析

例6

• 超级对称，奇函数 = 0。
• 写成极坐标的形式。
• 现在可以变成两个定积分相乘。
• 用第一类换元法，最后再用牛莱公式。

5.6 二重积分的运算性质 4

(f(x,y) = f(x) \cdot g(y))。

积分限为常数（矩形 (D)）。

可以把二次积分拆成两个定积分相乘。

对比一下。

5.7 直角坐标与极坐标的切换

例7

• (r) 和 (dr) 是一起的。
• 下限：(2\cos\theta)，两边乘以 (r)：(2r\cos\theta = r^2)。
• 变成 ((x-1)^2 + y^2 = 1)。

5.8 总结

• (r = a)：以 (O) 为圆心，以 (a) 为半径的圆。
• (r = 2a\cos\theta)：以 ((a,0)) 为圆心，以 (a) 为半径的圆。
• (r = 2a\sin\theta)：以 ((0,a)) 为圆心，以 (a) 为半径的圆。

5.9 极坐标形式的转换

例8

• 直角坐标：画图，上下对称，看 (y)。
• 极坐标：
• 找 (\theta)：找斜率。
• (k = \tan\theta)。
• (\theta = \arctan k)。
• 找上下限。
• 被积函数也要换元。
• 别忘后面是 (rdr)。
• 分子分母凑 (\sec)，(\sec) 凑微分。

5.10 小练习

• 画图像，图像是圆环，且关于 (y=x) 对称。
• 可以用轮换对称性。
• 再转化成极坐标。
• 被积函数是幂函数和三角函数，可以用表格积分法。