通过矩阵研究二次函数(方程)-----理解二次型

通过矩阵研究二次函数(方程)-----理解二次型

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/ypp0229/article/details/101758674

二次函数（方程）是数学中的重要概念，特别是在高等数学和工程领域。本文将通过矩阵理论来深入研究二次型，揭示二次函数（方程）的本质特征及其几何意义。

1. 二次函数（方程）的特点

1.1 二次函数

最简单的一元二次函数就是：

给它增加一次项不会改变形状：

增加常数项就更不用说了，更不会改变形状。

1.2 二次方程

下面是一个二元二次方程：

给它增加一次项也不会改变形状，只是看上去有些伸缩：

1.3 小结

对于二次函数或者二次方程，二次部分是主要部分，往往研究二次这部分就够了。

2. 通过矩阵来研究二次方程

因为二次函数（方程）的二次部分最重要，为了方便研究，我们把含有n 个变量的二次齐次函数：

或者二次齐次方程，称为二次型。

2.1 二次型矩阵

实际上我们可以通过矩阵来表示二次型：

更一般的：

可以写成更线代的形式：

所以有下面的一一对应关系：

在线代里面，就是通过一个对称矩阵，去研究某个二次型。

2.2 通过矩阵来研究有什么好处

2.2.1 圆锥曲线

我们来看一下，这是一个圆：

我们来改变一下二次型矩阵：

哈，原来椭圆和圆之间是线性关系呐(通过矩阵变换就可以从圆变为椭圆)。

继续：

咦，双曲线和圆之间也是线性关系(准确的说是仿射的)。