正四面体外接圆半径公式是什么

正四面体外接圆半径公式是什么

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/hV7ml1Z1yf.html

正四面体是一种特殊的几何体，其四个面都是正三角形，且所有棱长都相等。设正四面体的棱长为a，其外接球半径R的计算公式为：

公式推导过程

为了推导这个公式，我们可以将正四面体V-ABC放置在三维空间中，其中D为BC的中点，E为面ABC的中心，外接球半径为R。

1. 首先计算AD的长度：

• 由于AD是正三角形ABC的高，根据正三角形的性质，有：
  [
  AD = \frac{\sqrt{3}}{2}a
  ]

2. 计算AE的长度：

• E是正三角形ABC的重心，根据重心的性质，有：
  [
  AE = \frac{2}{3}AD = \frac{\sqrt{3}}{3}a
  ]

3. 在直角三角形VAE中，计算VE的长度：

• 根据勾股定理，有：
  [
  VE^2 = VA^2 - AE^2 = a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 = \frac{2a^2}{3}
  ]
  [
  VE = \frac{\sqrt{6}}{3}a
  ]

4. 在直角三角形AEO中，应用勾股定理求解R：

• 根据勾股定理，有：
  [
  AO^2 = AE^2 + OE^2 = R^2 + (VE - R)^2
  ]
  [
  R^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{3}a - R\right)^2
  ]
  [
  R^2 = \frac{a^2}{3} + \left(\frac{\sqrt{6}}{3}a - R\right)^2
  ]
  解这个方程，可以得到：
  [
  R = \frac{\sqrt{6}}{4}a
  ]

另一种求解方法

除了上述方法，还可以通过求解内切球半径r来间接求解外接球半径R。

1. 利用等积法求解内切球半径r：

• 设四面体的底面积为S，则：
  [
  \frac{1}{3}S(R + r) = 4 \times \frac{1}{3}Sr
  ]
  解得：
  [
  r = \frac{R}{3}
  ]

2. 在直角三角形AEO中，应用勾股定理：

• 有：
  [
  R^2 = AE^2 + r^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2 + \left(\frac{R}{3}\right)^2
  ]
  [
  R^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{R^2}{9}
  ]
  解这个方程，同样可以得到：
  [
  R = \frac{\sqrt{6}}{4}a
  ]

正四面体的其他性质

1. 正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
2. 正四面体的内切球与各侧面的切点是侧面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
3. 正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
4. 正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
5. 对于四个相异的平行平面，总存在一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。

通过以上推导和性质介绍，我们可以清晰地理解正四面体外接球半径的计算方法及其背后的几何原理。