复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

复数的乘除运算在数学中有着重要的应用，其三角表示不仅简化了运算过程，还提供了直观的几何解释。本文将详细介绍复数乘除运算的三角表示方法及其几何意义，帮助读者深入理解这一数学概念。

复数的三角形式的运算

设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则

(1)乘法：z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

(2)除法：z1÷z2＝

()cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)，

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

(3)乘方：zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．

(4)开方：

复数的乘、除运算的几何意义

两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量
，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把
按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量
表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义．
z2≠0，

的几何意义是把z的对应向量
按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把
按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的
倍，所得的向量即表示商