希尔伯特第15问题与代数几何学之起源
希尔伯特第15问题与代数几何学之起源
1900年，希尔伯特在《数学问题》的讲演中提出了23个公开问题，其中第15问题专注于19世纪计数几何与相交理论，要求"为舒伯特计数演算法建立严格基础"。本文将从几何学拓荒者们的故事出发，沿着第15问题的解答脉络，重现代数几何学的诞生历程。
相交理论简史
公元前3世纪，希腊几何学家阿波罗尼斯在“Tangencies”一文中，证明了下述结果：对于平面中处于一般位置的3个圆，恰有8个圆与它们相切。这个定理的最初证明已遗失在历史的尘埃中，后人仅能从帕普斯在公元4世纪的一篇记述中得知这个结果。在文艺复兴时期，众多几何学家致力于寻求该定理的证明，其中韦达、阿德里安、热尔冈和牛顿取得了成功。
笛卡尔空间坐标系的发现，使得几何学家们能够利用多项式方程组，来刻画满足特定几何条件的几何对象。于是，许多计数几何问题有了如下表述：
相交理论示意图
相交数问题的提出可归功于法国力学家、数学家庞斯列。他于1811年毕业于巴黎理工大学，作为工程兵上尉参加了拿破仑侵俄战争。在莫斯科附件的克拉斯诺耶战役中，被误认为阵亡而被遗弃在战场，被俘后囚禁在西伯利亚 Saratow战俘营。庞斯列通过研究几何学，度过战俘营中的艰难岁月。他仅靠大学期间蒙日所教授的画法几何学的基础，在对17世纪射影几何一无所知的情形下，独立发现并建立了高维射影几何学的系统理论。庞斯列将他在战俘营期间的工作整理为《论图形的射影性质, 1816》一文，这是近代射影几何以及相交理论奠基性工作。
1900年，庞加莱在3维流形的分类工作中，创造性地引入了流形M的同调群H*(M)，使得人们能够应用群中的运算，来解析M的几何结构。在研究相交数问题的过程中，莱夫舍茨进一步建立了流形M的上同调理论H*(M)。从链复形的层次看，后者只是前者的对偶，但与同调论相比较， 上同调具有一个突出优势：对角映射d:M→MxM诱导了上同调群中一个称为“杯积”的乘法运算。
至此，我们回顾了历史上解答计数问题（或相交数问题）的三个设想，以及它们之间一脉相承的关系。一个自然地问题是，哪种方案具备有效可算性？这不仅是计数几何问题的核心要求，也是推动20世纪代数几何学发展的动力。
希尔伯特第15问题
舒伯特于1870年在德国哈勒大学获得博士学位。他的博士论文《特征数理论》的主题是计数几何学。此前，他已发表过相关文章，证明了空间中与4个处于一般位置的球面相切的球面有16个，是阿波罗尼斯定理在空间情形的直接推广。
1879 年，舒伯特发表了19世纪相交理论的巅峰之作《计数几何演算》：
舒伯特与《计数几何演算》
在该书中，他发展了 Chasles 关于圆锥曲线的工作，通过一系列示例， 展示了相交理论的几何魅力。例如：
- 给定空间中处于一般位置的8张二次曲面，恰有4,407,296条圆锥曲线与它们相切；
- 给定空间中处于一般位置的9张二次曲面，恰有666, 841, 088张二次曲面与它们相切；
- 给定空间中处于一般位置的12张二次曲面，恰有5,819,539,783,680条三次立体曲线与它们相切。
由于舒伯特的工作广泛应用了柯西所反对的“连续性原理”，广受非议。为了回避批评，他在1874年将该原理更名为“特殊位置原理”，两年后又更名为“数的守恒原理”；仍然受到Study和Kohn的攻击。最为中肯的评论来自范·德·瓦尔登，他在文献中回顾道，舒伯特的论证如此之概略，以至于“没有给出相交数的定义，没有办法找到它，也没有办法计算它”。
希尔伯特在第15问题中要求，“为舒伯特计数演算法建立严格基础”。同时，希尔伯特肯定了舒伯特的方法能够预见到多项式问题的解的优势：
“这个问题是：对于计数几何中的那些几何数目，在准确界定其适用范围的前提下，严格地证明其正确性。特别需要研究的是，舒伯特在他的书中，基于所谓特殊位置原理（或相交数的守恒原理）所建立的一套计数演算法，并据此算出的那些几何数目。
虽然今天的代数学在原则上保证了实施消元法可能性，但要证明计数几何中的那些定理，对于代数学提出了更高要求。因为，它要求在对那些特定的方程 (组) 实施消元法之前，事先就能预见到最终所得方程的次数及其解的重数。”
舒伯特演算的基本问题: 特征数问题
为深入到舒伯特演算的核心内容，我们引用原著中一个计数表格：
表1. 空间圆锥截线的特征数方程
其中，符号ρ, μ, ν依次表示空间中通过一个定点、相交于一条定直线、相切与一张定平面的圆锥截线所构成的三个代数簇。舒伯特本人将表格中的等式称为“特征数方程”，而早期的研究者也称它们为“舒伯特符号方程”。舒伯特在他的工作中多次强调，特征数问题是计数几何的主要理论问题。然而，为了得到“特征数问题"的严格表述，数学家们用了60多年时间，本节回顾相关故事。
首先研究第15问题的数学团体，是以恩里克斯和塞韦里为代表的意大利学派。他们的代表性著作是塞韦里的文章《(特征)数的守恒原理》和《计数几何基础与特征数理论》。根据范·德·瓦尔登的记述，“他们建立了令人钦佩的结构，但逻辑基础不稳定，概念定义不明确，证据也欠充分”。
1930年，范·德·瓦尔登发表了“计数几何演算的拓扑基础”一文，是代数几何发展史中的一个重要里程碑。他在文章中首次提出，在莱夫谢茨所建立的上同调理论的框架中，解答第15问题的设想。他在文章中敏锐指出：
a) 每个舒伯特符号方程应是某个射影类流形上同调群中的一个关系式；
b) 解答特征数问题的前提，是确定该射影流形上同调群的一个加法基底；
c) 所有计数问题的共同目标，是计算射影类流形中代数簇的相交数，成功地引领了第15问题的后续研究。
范·德·瓦尔登与《计数几何学的拓扑基础》
设G是一个紧致连通李群，P是G的一个抛物子群。通过G到它的李代数的伴随表示，齐性空间G/P得以实现为一个光滑复射影代数簇，称为李群G的一个旗流形。下面，我们依从文献，用W(G)表示李群G的外尔群，并用W(G;P) 表示子群W(P) 的左陪集W(G)/W(P)。埃里斯曼在1934年首度发现：
a) 舒伯特演算所关心的几何对象的参数空间，本质上是旗流形 G/P 的一些特例；
b) 对于复格拉斯曼类流形 Gn,k(C) 这个特殊情形，经典的舒伯特符号，恰好是其上同调群的一个加法基底。
随着研究的深入，早期文献中的含糊术语“舒伯特符号”，逐步被“舒伯特胞腔”或“舒伯特簇”此类严谨的几何对象所替代。尤其是，切瓦利，盖尔芳德等人相继证明，每个旗流形G/P具有一个胞腔分解：
令人惊奇的是，在上同调理论正式诞生的前50年，舒伯特就已经在应用该理论，从事计数几何演算工作。作为例证，我们援引柯立芝的一段记述：“舒伯特所面临的基本问题，是将这些符号的乘积用其他符号线性表出。他仅取得了部分成功。”
代数几何学的诞生
范·德·瓦尔登在文章的开篇中指出：“第15问题的核心问题在于给出相交重数 (intersection multiplicities) 的定义 (或计算公式)，借助于该公式，我们能够有效计算出舒伯特的那些计数几何问题的解，同时使得相交数的守恒原理得以保持”。随之，他开始了构建代数几何学基础的规划。他在《Mathematische Annalen》上发表了系列文章《ZurAl- gebraische Geometrie(#1~#20)》，并在1939 年出版了名著《Introduction to Algeberaic Geometry》，首要任务是寻求“相交重数”的严谨定义。
安德烈·韦伊是布尔巴基学派的灵魂。1946年，他发表了里程碑式的名著《代数几何基础》，其中第一次系统且完整地对于代数闭域上的代数簇，给出了“相交重数”的定义。随后，他根据切瓦利所发现的舒伯特演算的基底定理，将希尔伯特第15问题的解答，等价于“决定所有旗流形G/P的上同调环” 的问题。下称为“韦伊问题”。
韦伊与《代数几何学基础》
在韦伊工作的基础上，对于不可约代数簇W中两个维数互补子簇X, Y， 塞尔得到了相交重数的“优美公式”：
其中A表示局部环O(X,W)，a和b依次是代数簇X和Y的理想，L是A模的长度。随后，富尔顿和麦克弗森一道，将公式推广到带奇点的代数簇。遗憾的是，此类公式无法从事有效计算，尤其是第15问题所关切的特征数的计算。
第15问题是当代数学中一个影响深远的问题，它推动19世纪的计数几何与相交理论，成长为20世纪数学大师范·德·瓦尔登和安德烈·韦伊所建立的代数几何学，使得舒伯特演算深度融入微分几何学、代数拓扑学、李群表示论等领域，深刻地影响着这些领域的发展轨迹。这一切，既是希尔伯特对于数学发展的宽阔视野和前瞻性的有力见证，也对探索舒伯特演算行之有效的演算法则，尤其是特征数问题和韦伊问题的解答，提出迫切要求。
1931年，周炜良在芝加哥大学获博士学位。出于对范·德·瓦尔登《代数学》的欣赏，他在1933年赴德国莱比锡大学，跟随范·德·瓦尔登研究代数几何学。1958年，他在切瓦利的讨论班上宣布了以他的姓氏所命名的周环，是当代相交理论的一个基础平台。
周炜良在构建周环的工作中，证明了所有旗流形周环A*(G/P)和上同调环H*(G/P)之间，存在一个典范同构。利用这个同构，段海豹、赵学志在他们的系列工作中，发展了微分拓扑、代数拓扑、以及符号计算的技术，从理论到计算两个角度，解决了“特征数问题”和“韦伊问题”。据此，他们已在文章中阐明，第15问题已获解答。