车辆纵向动力学与控制——汽车的鞋子
车辆纵向动力学与控制——汽车的鞋子
从今天起，本文将围绕车辆控制展开一系列技术文章，主要涵盖车辆动力学模型、自动驾驶车辆常用规划控制算法、状态估计与信号处理算法、ESC/VCU/ADAS应用层逻辑开发、Simulink建模与代码生成等内容。
文章枝干
- 1.纵向动力学之轮胎
- 2.何为魔术公式
- 3.魔术公式具象化
- 4.魔术公式在实际开发中的应用
1.纵向动力学之轮胎
轮胎动力学是车辆动力学中最复杂的一部分，涉及XYZ三个维度。本文仅讨论X维度，即轮胎纵向动力学模型。常用的轮胎模型有Pacejka模型、Dugoff模型、Magic Formula模型，它们都能描述轮胎滑移率和纵向力的关系。本文将重点介绍"魔术公式"动力学模型。
2.何为魔术公式
直接给出纵向运动的数学表达式：
$$
F_x = F_z \cdot D \cdot \sin(C \cdot \arctan(B \cdot \lambda - E \cdot (B \cdot \lambda - \arctan(B \cdot \lambda))))
$$
其中，各参数的含义如下：
- $\lambda$：轮胎滑移率（Slip Ratio）
- $F_x$：轮胎纵向力
- $F_z$：轮胎垂直载荷
- $B$：Stiffness Factor
- $C$：Shape Factor
- $D$：Peak Factor
- $E$：Curvature Factor
不同路面条件下的参数值如下图所示：
进一步，$B$、$C$、$D$、$E$四个参数是由更多的第二参数$b_0$，$b_1$，$b_2$等拟合得到，具体公式较为复杂，此处省略。
通过实验数据验证魔术公式，得到一组参数值：$D$、$C$、$B$、$E$分别为2.1597、2.0931、0.1000、0.8000。这些参数值与官方数据存在差异，这引发了对MATLAB官方数据权威性的质疑。
3.魔术公式具象化
通过绘制不同路面条件下$\lambda$、$F_x$和$F_z$之间的关系，可以更直观地理解魔术公式。实验表明，在低附着路面上，相同的驱动扭矩会导致更大的驱动力或制动力损失。理论上，将轮胎滑移率控制在12-25%之间，既能最大化输出扭矩，又能保证车辆的操纵稳定性和安全性，这也是TCS和ABS控制的目标。
4.魔术公式在实际开发中的应用
魔术公式在车辆控制软件开发中具有重要应用。在开发前期，可以通过MIL（模型在环）、SIL（软件在环）、PIL（处理器在环）和HIL（硬件在环）测试验证控制算法的表现。此外，还可以借助简化的轮胎动力学模型进行车辆状态估算，估算出传感器无法直接测量的信号，或者对可测量的信号进行修正。
基于魔术公式搭建简化的车辆纵向动力学模型，可以模拟车辆加速和减速时的表现。车轮受力公式如下：
$$
T_{Drive} - T_{Brake} - F_x = I \cdot \frac{dw}{dt}
$$
其中，$I$代表车轮转动惯量，$\frac{dw}{dt}$代表车轮旋转加速度。
从模拟结果可以看出，在加速时车轮会出现打滑现象，滑移率超过40%；在减速时，车轮会出现抱死现象，滑移率低于-30%。基于此模型，可以设计ABS和TCS的滑移率控制逻辑。然而，由于实车中没有直接测量车身速度的传感器，只能借助轮速传感器或GPS进行估算，这增加了滑移率控制的难度。
后续将针对车辆纵向速度估计和加速度估计展开专题探讨，欢迎持续关注。