安培力与洛伦兹力的关系

安培力与洛伦兹力的关系

安培力和洛伦兹力是电磁学中的两个基本概念，它们分别描述了电流在磁场中受到的力和带电粒子在磁场中受到的力。本文将通过微积分原理，揭示这两个力之间的内在联系，帮助读者理解安培力是如何由大量粒子的洛伦兹力叠加而成的。

洛伦兹力与安培力公式的比较

洛伦兹力公式为 $f=Bvq$，描述的是单个粒子在磁场中受到的力；而安培力公式为 $F=BIL$，描述的是通电导体在磁场中受到的力。通过比较这两个公式，我们可以确定研究思路：

1. 利用微积分基本原理，建立单个粒子与导体内大量粒子之间的关系
2. 研究电流 $IL$ 与粒子速度 $vq$ 之间的关系

电流I的微观表述

电流的微观表达式为 $I=nqSv$，下面是推导过程：

• 各个物理量的定义：
• $n$：单位体积内的电荷数
• $q$：每个电荷的电量
• $S$：导体横截面积
• $v$：电荷定向移动速率

为了简化分析，我们假设运动电荷为正电荷。微观模型如图所示：

设定单位时间 $t$，在此时间内圆柱体内所有电荷通过了界面 $D$ 向右侧运动：

• 通过的粒子总数为 $N=nV$（$V$ 是圆柱体的体积）
• 通过的总电荷量为 $Q=qnV$
• 体积公式 $V=Sl=Svt$
• 因此，$Q=qnV=qnSvt$

根据电流的基本定义式，可以得出：

$$I=\frac{Q}{t}=qnSv$$

洛伦兹力向安培力的推导

如果将上述导线垂直放入磁场，那么每个电荷受到的洛伦兹力为 $f=qvB$。

我们依然取上述长为 $l$ 的一段导线，其中的电荷总数量依然是 $N=nV=nSL$。

那么这段导线的所有电子的洛伦兹力的合力为：

$$F=Nf=nSLqvB$$

在这里需要补充的是，所有的洛伦兹力 $f$ 的方向是一致的，因此合力就是 $Nf$。

利用（2）中 $I$ 的推导公式 $I=qnSv$，将其带入上式：

$$F=BIL$$

这就是安培力的公式。

结论

杆件所受到的安培力是其内部大量粒子所受到的洛伦兹力的宏观表现。