铀235临界质量的估算
铀235临界质量的估算
本文选自《物理》2024年第6期
海森伯是德国著名物理学家，以开创了量子力学的第一种现代意义上的表述形式——矩阵力学，以及发现了测不准原理闻名于世。然而，他的人生也有一些有争议的地方。例如，他曾经主持过纳粹德国的核计划。下面是一个关于他的传说。
在1945年德国战败后，海森伯和哈恩等人被美军俘虏，一起被软禁在英国的一个庄园里。哈恩是1938年发现原子核裂变的核物理学家。1945年8月，在广岛“小男孩”原子弹爆炸后，美英方故意把消息告诉他们，然后监听他们的反应。海森伯和哈恩一边散步一边聊。海森伯说这个消息是假的，除非美国能把成吨的铀扔下去。他估算的铀235的临界质量在10吨量级。其实“小男孩”原子弹只装了大约60公斤铀235。海森伯的估计和真实情况相去甚远，有数量级的差别。
在分析海森伯为什么会把临界质量估算错误之前，先介绍一点背景材料：一个铀235原子核在被一个热中子(也就是动能25 meV左右的中子，折算成温度T =EK/kB ≈ 300 K)轰击时裂变成两个中等大小的原子核。这个过程中大约放出200 MeV，即3.2×10-11 J的能量，同时平均生成2.5个中子。中子的平均自由程l ≈ 6 cm。爆炸当量通常按TNT炸药来计算。1克TNT炸药释放的能量是1千卡，即4.2 kJ。广岛原子弹当量是15000吨TNT，释放的能量为6.3×107MJ。这相当于2×1024个铀原子发生裂变，即3.3 mol的铀235。也就是说，“小男孩”原子弹中实际发生裂变的铀235，才780 g左右，还不到1 kg。
海森伯用中子的无规行走来估计裂变链式反应的持续问题。在反应了N 步之后，根据无规行走的特点，知道中子的扩散距离，l 为中子的平均自由程，“小男孩”原子弹中大致发生了60步链式反应(2×1024 ≈ 2.561，底数2.5为每次反应放出的平均中子数)。这样，铀球的半径要d ≈×6=46 cm，相应的体积略大于400 dm3。铀的比重约为19，可以估算出其临界质量在8吨左右。因为这样的重量，海森伯觉得原子弹是不可能作为实战武器来使用的。
一个星期以后，海森伯意识到了自己的错误。他的错误在于忘了裂变反应是中子增殖的。在他的估算中，铀块要大到可以容纳反应中释放的所有中子，但这是不必要的。在每一步反应中，只要有平均多于一个中子留在铀块内，比如1.1个，链式反应仍然可以继续。
第n 步裂变反应发生在位置rn 。发射出的中子里与rn 最大的那个夹角的余弦记作cosθm 。如果(1)式可以满足，则平均每步有多于一个中子留在铀块内，从而使得链式反应得以持续进行
我们进行如下的估计，设反应开始于O点，记第n步反应时的位置为rn。设中子运动方向是随机的，则其速度与rn夹角的余弦cosθ在[-1,1]之间均匀分布，如图所示。为计算简单，保守考虑按每步发射2个中子来计算。这两个中子和rn夹角较大的那个记作cosθm，经过简单的概率分析可得，其平均值。(这个结论留给读者做练习)。这样我们得到递推关系：
这样，只要铀块半径达到了，即有
，平均就有超过一个中子往回走，链式反应即可继续。所以铀块的临界半径可以取
作为上界，也就是4.2 dm3的体积，其对应的临界质量为80 kg。考虑到每步平均发射的中子数为2.5，这个估算可以作为临界质量的一个比较保守的上界，即Mc < 80 kg。
真实的临界质量值为52 kg。这个估算比真实值要高一些，相差不到一倍，作为数量级估计，其效果已经很好了。
核物理书上对于临界质量的计算往往很复杂，需要解反应扩散方程。上面的估算，物理图像清晰，计算简单明了，并给出了正确的数量级。可见数量级估计是可以解决大问题的。
本文2024年6月28日发表于微信公众号 中国物理学会期刊网 （铀235临界质量的估算），风云之声获授权转载。