【数理化自学丛书】函数 y＝x³ 的定义域、图象和性质

【数理化自学丛书】函数 y＝x³ 的定义域、图象和性质

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第五章有理指数的幂函数

§5-1函数 y＝x³

【01】在前几章里，我们曾见到过形如 y＝x，y＝x²，y＝x³ 之类的函数。这些函数的特点是它们的解析式都是用自变量的某一个幂来表示的，我们把这类函数叫做幂函数。

【02】在代数第二册里我们已经知道，幂的指数不但可以是自然数，也可以是负整数、零或正、负分数；也就是说幂的指数可以是一般的有理数。我们把形如
（r 是有理数）的函数叫做有理指数的幂函数【函数 y＝xº，当 x ≠ 0 时它的值总是 1，所以这种函数不作专门研究】。

【03】这类函数的定义域、性质和图象要根据 r 是哪一种有理数来分别讨论。在这一章里，我们将分别研究一些比较简单的、常见的幂函数。

【04】我们先来看一个例子：如果立方体一条棱的长是 l 厘米，体积是 V 立方厘米，那末 V 和 l 之间的关系可以用公式 V＝I³ 来表示（图5·1）。很明显，当 l 取任何正数的时候，对于每一个 l 的值，V 都有一个确定的值和它对应，所以 V 是 l 的函数，l 是自变量，函数的定义域是全体正数，即区间 0＜1＜＋∞ 。

【05】现在，我们来研究一般的用自变量 x 的三次幂给出的函数，就是函数 y＝x³ 。

1、函数 y＝x³ 的定义域

【06】因为不论 x 是什么实数值，x³ 都有意义，所以函数 y＝x³ 的定义域是全体实数，也就是区间－∞＜x＜＋∞ 。

2、函数 y＝x³ 的图象

【07】我们可以用描点法近似地作出函数 y＝x³ 的图象，如图5·2所示。这个图象叫做三次抛物线（或抛物挠线）。

【08】从图上我们可以看出它有下面的性质：

(1) 图象通过原点。

(2) 图象落在第一和第三象限里。把坐标系围绕原点旋转 180°，图象重合到原来的位置 [例如P(x，y) 旋转到 P'(－x，－y) 的位 P'(－x，－y)的位置，而 P' 旋转到 P 的位置 ]，我们说图象是关于原点对称的【点 P 和点 P' 关于原点对称，是指 POP' 在一条直线上，并且 PO 的长度等于 OP' 的长度。很明显，P(x，y) 关于原点的对称点是 P'(－x，－y)】。

(3) 图象从顶点起向右上方和左下方无限伸展。

(4) 图象是从左到右逐渐上升的。

【09】上面我们从图象上看出的这些事实，也可从函数 y＝x³ 这个关系式中直接推出：

(1) 因为当 x＝0 时，y＝0 。所以它的图象通过原点。

(2) 因为(－x)³＝－x³，所以当自变量取两个互为相反的数的值的时候，对应的函数值也是互为相反的数。所以如果一点 P(x，y) 在函数的图象上，那末必有另一点 P'(－x，－y) 也在函数的图象上，又当 x＞0 时，y＞0，所以函数 y＝x³ 的图象落在第一、第三象限里，而且是关于原点对称的。

(3) 因为当 x 取正值而绝对值逐渐增加的时候，y 的对应值也逐渐增加，所以图象从原点起向右上方无限伸展，又因为当 x 取负值而绝对值逐渐增加的时侯，y 的对应值是负值，它的绝对值也逐渐增加，所以图象从原点起向左下方无限伸展。

(4) 因为当 x 的值逐渐增加的时侯，y 的对应值也逐渐增加，所以图象从左到右逐渐上升。

【10】精确地画出函数 y＝x³ 的图象，就可利用它来求实数的近似立方。例如从图中可以读出1.5³ ≈ 3.4 。

【11】我们还可以利用函数 y＝x³ 的图象求三次方程的近似根。

例.求方程 3x³＋5x－15＝0 的近似根。

【解】

先把原方程变形成下面的形式：

。

作函数 y＝x³ 和

的图象（图5·3），读出它们的交点的横坐标得 x ≈ 1.4 。

这就是所求的近似根。

习题5-1

1、作出下面各点关于原点的对称点：A(2，－3)，B(3，1)，C(0，－1)，D(1，0) 。【A'(－2，＋3)，B'(－3，－1)，C'(0，1)，D'(－1，0)】

2、作函数 y＝－x³ 的图象，并从图象上考察它有哪些特点。

3、在坐标纸上精确地画出函数 y＝x³ 的图象。然后利用图象求下列方程的近似根（精确到0.1）：(1) x³＋x－3＝0；(2) 3x³＋5x－40＝0 。【(1)≈1.2，(2)≈2.1】