第01讲 什么是线性代数：线性代数课程的内容，学习意义与学习方法
第01讲 什么是线性代数：线性代数课程的内容，学习意义与学习方法
线性代数是理工科、经济管理等专业必修的大学数学基础课，它研究的是代数中线性关系的问题。从解线性方程组到矩阵论和行列式理论的发展，线性代数已经成为现代科学不可或缺的工具。本文将带你了解线性代数的基本内容、学习意义以及有效的学习方法。
一、线性代数及研究内容
从开设《线性代数》课程的角度来看，线性代数是研究代数中线性关系的一门非常重要的、非数学专业的理工科、经济管理，甚至有些高校的文史、社会科学类等学生必修的大学数学基础课。
线性关系指的是数学对象（比如方程中出现的未知数）之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程；而空间直线可以认为是两个平面的交线，因此可以由两个三元一次方程所构成的方程组来表示。
像上面出现的未知数项仅仅是一次项的表达式所构成的等式关系就是一种线性关系，它们所描述的方程就称为线性方程。含有个未知量的一次方程称为线性方程，其中末知量。由个个一次未知量方程构成线性方程组。关于变量是一次的函数称为线性函数，如一元、二元线性函数。
这些方程、方程组和线性函数，经过改写，引入向量与矩阵以后，都可以统一写成，其中为矩阵，为向量的结构。这也就是《线性代数》课程的主要研究对象——线性方程组。
一般认为历史上线性代数的第一个问题就是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为线性代数课程学习中的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题解决的需求促进了线性代数这一学科的诞生与发展；当然，也有一些其他学科的发展，比如近现代数学分析与几何学等数学分支的发展要求也促使了线性代数的进一步的发展。
现代意义的线性代数大致出现于十七世纪，直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间，十九世纪上半叶才完成了到 n 维线性空间的过渡，作为一个独立的分支则在 20 世纪才形成。但是它的历史却非常久远，“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题，最古老的线性方程组的解法出现在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中，其中所描述的方法相当于现代的对方程组的增广矩阵的施行初等行变换，消去未知量的方法。
行列式和矩阵在 18～19世纪期间先后产生，它们的出现为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念，凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。
简单地来讲，《线性代数》课程主要研究的就是基于矩阵理论，向量的方法来解决线性方程组的求解问题。线性代数的主要内容可以概括为以下几个方面，它们构成了线性代数的基础框架。
- 向量理论：包括向量的定义、性质、运算以及向量组、向量空间的概念及相关的一些性质的讨论。
- 矩阵理论：包括矩阵的定义、运算、秩、逆矩阵等基本概念和性质以及一些特殊矩阵及它们的性质与应用。
- 线性方程组理论：包括线性方程组的解法、解的存在性和唯一性定理以及相关的一些性质与结论等。
- 线性变换与矩阵的关系：探讨线性变换如何用矩阵来表示，以及矩阵的相似性和对角化和线性变换在实际中的应用等问题。
- 特征值与特征向量理论：包括特征值和特征向量的定义、性质以及在实际问题中的应用，矩阵相似、二次型等，包括几何上的应用与分析、最优化等学科中的应用。
二、学习线性代数的意义
瑞典数学家 Lars Garding 在其名著《Encounter with Mathematics》中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”
线性代数不仅仅是一门学科，它是一种思维方式，一种解决问题的工具。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化数学思维训练，增益科学智能是非常有用的。学习线性代数，不仅仅是为了掌握理论知识，更重要的是培养解决实际问题的能力。
随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。学习线性代数，就像是在解构一个复杂的世界，将其简化为一系列的线性问题。通过矩阵的运算，可以解决多元线性方程组；通过向量的空间变换，能够描述物体在三维空间中的运动；而特征值和特征向量则揭示了矩阵的内在性质，这对于理解动力系统的稳定性等一些实际应用至关重要。
掌握线性代数，意味着拥有了解读和创造数字世界的能力。在物理学中，线性代数帮助我们构建量子力学的数学基础；在计算机科学中，它是算法和数据结构的核心工具；在工程学中，无论是信号处理还是系统控制，线性代数都是实现技术创新的关键；在图像处理中，线性代数可以帮助我们进行图像的缩放、旋转和变形等操作；在机器学习中，线性代数是构建和优化算法的基础工具；在密码学中，线性代数也被用于构建安全的加密和解密算法；在经济学中，线性代数用于建立和分析经济模型、进行预测和决策等。
总之，线性代数课程是一门既有趣又强大实用的数学学科，它既有理论的深度，又有实践的广度。它不仅能够培养逻辑思维和抽象思维能力，还能让我们在实际应用中感受到数学的魅力。如果你对探索多维世界、解决实际问题感兴趣，相信你一定会发现它的无穷魅力和价值所在。
三、线性代数的学习方法
作为非数学专业理工科学生必修的三大数学公共基础课（高等数学、线性代数、概率论与数理统计）来说，就学习而言，很多学过的同学认为线性代数是最难的！它不像高等数学那样有一条主线将内容串起来，新的理论、方法的产生自然、流畅，并且与中学的数学学习能够实现无缝对接，很容易与已有数学知识结构体系融合到一起；从内容上来讲，线性代数的内容显得零乱，互相嵌套又感觉彼此分开。线性代数教材内容的分布、衔接不像高等数学那样连贯，不同教材基本上内容出现的逻辑顺序差不多；而线性代数教材的编写，因为不同的人认识、理解角度的不同，导致线性代数编排的方式、内容出现的顺序不同，并且各有各的道理！所以，在学习参考不同教材时，让很多学习者有点不知所措！这也是很多人认为线性代数教材编得不好的重要原因！
课程特点：内容抽象；概念多、性质结论多、符号多、算式大；作业和测验题计算原理简单但思路灵活且计算量大、证明简洁但技巧性强。
那么，如何学习线性代数呢？首先，需要理解基本的概念和原理，比如向量、矩阵、行列式等。然后，通过例题、练习训练，将这些知识应用到实际问题中来加深理论与方法的理解、掌握。
理解是课程学习的关键，发现、掌握规律求解线性问题的关键。实际学习过程中可以采取以下方法：
- 理论与实践相结合：多做练习题和分析、解决一些实际问题，这样才会对理论的形成和相应的结果有更深入、透彻的理解和把握。
- 注重证明与推导过程：线性代数中有很多重要的定理和性质，掌握它们的证明与推导过程是掌握这门学科的关键，也是解决问题的基础，它们不仅提供了解决线性代数问题的理论依据，也能给与解题思路上的启示，很多综合性的复杂问题很多时候就是这些定理、性质的综合。
- 数形结合：线性代数的概念和方法很多都可以通过图形来直观理解，和其他课程一样，数形结合有助于更好的理解原理和解决问题。正如华罗庚先生所说的：“数无形时少直觉，形少数时难入微”，通过图形探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是数形结合思想，也是线性代数的一个重要研究内容，比如线性变换中的几何应用，二次型与二次曲面等。
- 数学软件与编程：利用数学软件，或编程工具进行运算和可视化，可以帮助我们更好地学习、理解、掌握线性代数理论、方法和应用，也有助于提升课程学习的兴趣和激发进一步深入学习的动力。
同时可以考虑遵循以下几个原则：
- 打好基础：确保对基础概念、基本性质与基本方法有扎实的掌握，尤其看到概念、公式、方法时，要能够即时写出相关的数学描述，等价形式，具体步骤，所涉及的其他相关的结论。
- 多做练习：通过练习来加强对理论、方法的理解，进一步巩固相关知识和技能，提升解决数学问题与实际问题的能力；同时也能够及时发现问题，查漏补缺，有效保证课程学习过程的连续性与持续性。
- 加强交流：如果在学习过程中遇到困难，在自己无法有效探索、解决的时候，不妨多向老师或同学寻求帮助，尤其是多和身边的同学交流、互动，或者参考一些优秀的线性代数教材、参考书或在线资源。勇于交流、善于分享，不仅使得学习更有效，也会让生活、工作更有效、更美好！
总的来说，相较于非数学专业的其他两门公共数学基础课高等数学、概率论与数理统计来说，线性代数表面看似内容、课时不多，上课学习过程貌似比较轻松，但是真正学习过程比较两门课程而言要艰难很多，主要是因为它的内容看起来比较零乱，缺乏一条主线和层层推进的逻辑发展关系，同一个内容在不同章节中会不时出现，看似一样，但是却总有不同。而且在不同章节中总会出现很多新的概念、名词，很多性质与结论；而且这些性质与结论不像高等数学的概念、性质与结论一样来得那么自然，行云流水，而是有着直接“冒出来”的感觉！
其实，在很少的课时，一个学期那么多课程同时学习情况下，咱们也不要期望太多，真正能够学到很多可用于解决实际问题的东西，开设这些数学基础课其实就是起到一个入门的作用，更多的是一个了解性的基本要求和为后续课程的学习打下基础，如果后面想要用它们来解决实际问题，咱们还需要更深入地、拓展性地学习和理解才行，也不是这样三门课的入门学习就可以真正起到作用的！
所以，学习过程中只要认真理解基本概念、基本性质，知道一些基本的结论和解决问题的基本方法，并能够用它们来解决课程学习中遇到的问题，尤其是教材中的例题、课后布置的练习和通常的课程测试题；在后续的专业课程学习中遇到与线性代数课程相关内容时，能够知道，想得起它们是什么？怎么计算，怎样解决一些与之相关的基本问题，可以说就可以达到课程学习的基本要求了！因此，学习过程中不要有压力，以平常心对待，毕竟咱们是经历过高考锤炼出来的，相信自己，一定可以学好！
最后，祝愿所有学友在线性代数学习的路上学有所成！