微积分-积分应用：圆柱壳体积计算方法详解
微积分-积分应用：圆柱壳体积计算方法详解
在微积分的学习中，计算旋转体的体积是一个重要的应用领域。本文将介绍一种特别适用于某些复杂情况的计算方法——圆柱壳法。通过这种方法，我们可以更简便地解决一些使用传统切片法难以处理的体积问题。
一些体积问题使用前面章节中的方法非常难以处理。例如，让我们考虑一个问题，即通过围绕y轴旋转区域（由$y = 2x^2 - x^3$和$y = 0$所围成的区域）来求得旋转体的体积（见图 1）。如果我们沿着y轴垂直切片，我们会得到一个垫片。但是，要计算垫片的内半径和外半径，我们必须将三次方程$y = 2x^2 - x^3$解出$x$关于$y$的表达式，这并不容易。
幸运的是，有一种叫做圆柱壳法的方法，在这种情况下更容易使用。图 2 显示了一个具有内半径$r_1$、外半径$r_2$和高度$h$的圆柱壳。它的体积$V$是通过从外圆柱的体积$V_2$中减去内圆柱的体积$V_1$来计算的：
$$
\begin{align*}
V &= V_2 - V_1\
&= \pi r_2^2 h - \pi r_1^2 h = \pi (r_2^2 - r_1^2) h\
&= \pi (r_2 + r_1)(r_2 - r_1) h\
&= 2\pi \frac{r_2 + r_1}{2} h (r_2 - r_1)
\end{align*}
$$
如果我们令$\Delta r = r_2 - r_1$（壳的厚度），并且$r = \frac{1}{2}(r_2 + r_1)$（壳的平均半径），那么这个圆柱壳的体积公式变为：
$$
V = 2\pi r h \Delta r
$$
这个公式可以记忆为：
$$
V = [周长] \times [高度] \times [厚度]
$$
现在，设$S$是通过围绕y轴旋转由$y = f(x)$（其中$f(x) \geq 0$），$y = 0$，$x = a$，以及$x = b$（其中$b > a \geq 0$）所围成的区域而得到的旋转体。（见图3）
我们将区间$[a, b]$分成$n$个宽度为$\Delta x$的子区间$[x_{i-1}, x_i]$，并令$\bar{x}i$为第$i$个子区间的中点。如果将底为$[x{i-1}, x_i]$且高为$f(\bar{x}_i)$的矩形绕y轴旋转，得到的结果是一个平均半径为$\bar{x}_i$、高度为$f(\bar{x}_i)$、厚度为$\Delta x$的圆柱壳。（见图4）因此，按照公式1，它的体积为：
$$
V_i = (2\pi \bar{x}_i) [f(\bar{x}_i)] \Delta x
$$
因此，旋转体$S$的体积近似等于这些壳体体积的总和：
$$
V \approx \sum_{i=1}^{n} V_i = \sum_{i=1}^{n} 2\pi \bar{x}_i f(\bar{x}_i) \Delta x
$$
随着$n \to \infty$，这个近似看起来会变得越来越精确。但是，根据积分的定义，我们知道：
$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} 2\pi \bar{x}_i f(\bar{x}_i) \Delta x = \int_a^b 2\pi x f(x) dx
$$
因此，以下公式看起来是合理的：
通过围绕y轴旋转图 3 中位于曲线$y = f(x)$之下、从$a$到$b$的区域，得到的固体体积为：
$$
V = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) , dx \quad \text{其中} , 0 \leq a < b
$$
使用圆柱壳的方法使得公式 2 看起来合理，但我们稍后将能够证明这一点。
记住公式 2 的最好方法是把它想象成一个典型的壳体，并且将其展开和压平如图 5 所示，半径为$x$，周长为$2\pi x$，高度为$f(x)$，厚度为$\Delta x$或$dx$，公式如下：
$$
\int_{a}^{b} \underbrace{(2\pi x)}{\text{周长}} \underbrace{f(x)}{\text{高度}} \underbrace{dx}_{\text{厚度}}
$$
这种推理方式在其他情况下也会有帮助，例如当我们围绕 y 轴以外的线旋转时。
例 1求由$y = 2x^2 - x^3$和$y = 0$围成的区域绕y轴旋转所得固体的体积。
解从图 6 的草图中，我们看到一个典型的壳体的半径为$x$，周长为$2\pi x$，高度$f(x) = 2x^2 - x^3$。因此，使用壳体法，体积为：
$$
\begin{align*}
V &= \int_0^2 (2\pi x)(2x^2 - x^3) dx\
&= 2\pi \int_0^2 (2x^3 - x^4) dx = 2\pi \left[ \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5 \right]_0^2\
&= 2\pi \left( 8 - \frac{32}{5} \right) = \frac{16}{5} \pi
\end{align*}
$$
可以验证，壳体法与切片法给出相同的答案。
注意比较例 1 的解法与本节开头的说明，我们可以看到，对于这个问题，圆柱壳的方法比垫圈法要容易得多。我们不需要找到局部最大值的坐标，也不需要求解$x$关于$y$的方程。然而，在其他例子中，上一节的方法可能更容易。
例 2求由$y = x$和$y = x^2$围成的区域绕 y 轴旋转所得固体的体积。
解该区域和典型的壳体如图 8 所示。我们看到壳的半径为$x$，周长为$2\pi x$，高度为$x - x^2$。因此，体积为：
$$
\begin{align*}
V &= \int_0^1 (2\pi x)(x - x^2) dx = 2\pi \int_0^1 (x^2 - x^3) dx\
&= 2\pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{6}
\end{align*}
$$
正如接下来的例子所示，壳体法在围绕 x 轴旋转时同样适用。我们只需画一个图来确定壳的半径和高度即可。
例 3使用圆柱壳法求由$y = \sqrt{x}$在$0$到$1$之间围成的区域绕 x 轴旋转所得固体的体积。
解这个问题在例 5.2.2 中使用了圆盘法来求解。为了使用壳法，我们将$y = \sqrt{x}$（该例中的图中）重新标记为$x = y^2$（如图 9）。对于绕$x$轴旋转，我们看到典型的壳体的半径为$y$，周长为$2\pi y$，高度为$1 - y^2$。因此体积为：
$$
\begin{align*}
V &= \int_0^1 (2\pi y)(1 - y^2) dy = 2\pi \int_0^1 (y - y^3) dy\
&= 2\pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}
\end{align*}
$$
在这个问题中，圆盘法更简单。
例 4求由$y = x - x^2$和$y = 0$围成的区域绕$x = 2$直线旋转所得固体的体积。
解图 10 显示了该区域及绕$x = 2$旋转形成的圆柱壳。壳的半径为$2 - x$，周长为$2\pi (2 - x)$，高度为$x - x^2$。因此，所求固体的体积为：
$$
\begin{align*}
V &= \int_0^1 2\pi(2 - x)(x - x^2) dx\
&= 2\pi \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx\
&= 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}
\end{align*}
$$
圆盘与垫圈 vs 圆柱壳
在计算旋转体的体积时，如何判断应该使用圆盘（或垫圈）还是圆柱壳呢？有几个需要考虑的因素：该区域是否更容易通过上下边界曲线$y = f(x)$或左右边界曲线$x = g(y)$来描述？哪种方法更容易处理？对于一个变量，积分的上下限是否更容易找到？使用$x$作为变量时，该区域是否需要两个单独的积分，而使用$y$作为变量时只需一个积分？我们能否对我们选择的变量设置的积分进行评估？
如果我们决定某一个变量更容易处理，那么这就决定了我们使用的方法。画一个区域中的样本矩形，对应于该固体的截面。矩形的厚度，即$\Delta x$或$\Delta y$，对应于积分变量。如果你想象矩形旋转，它要么变成圆盘（或垫圈），要么变成壳。