求极限问题：x趋于0时的等价替换及其适用条件、洛必达法
求极限问题：x趋于0时的等价替换及其适用条件、洛必达法
x趋于0时的等价替换及其适用条件
等价无穷小的定义：
若$\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$，则$\beta$与$\alpha$是等价无穷小的，记作$\alpha \sim \beta$。即当两个函数相比取极限，如果极限值为1，则这两个函数是等价无穷小的。
常用的等价替换（x趋于0时）
- $\sin x \sim x$
- $\arcsin x \sim x$
- $\tan x \sim x$
- $\arctan x \sim x$
- $e^x -1\sim x$
- $\ln(1+x) \sim x$
- $a^x-1\sim x\ln a\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.)$
- $\log_a(1+x)\sim\frac{x}{\ln a}\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.)$
- $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
- $(1+x)^\alpha -1\sim \alpha x$
- $(1+\beta x)^\alpha -1\sim \alpha\beta x$
- $\sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac{1}{n}x$
- $x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^3$
- $\arcsin x-x\sim\frac{1}{6}x^3$
- $\tan x -x\sim \frac{1}{3}x^3$
- $x-\arctan x\sim\frac{1}{3}x^3$
- $x-\ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$
等价替换的本质是当x趋于某一点时，两个函数在该点处相切，即两函数在该点处斜率相同且只有该点处一个交点。斜率相同，意味着两函数在该点处具有相同的增长率，在x的值无尽逼近于该点时，两函数值几乎相同，所以在求极限的时候可以用等价替换，来简化问题。从斜率（函数变化率）的角度也更容易理解洛必达法则。
洛必达法则：设
(1) 当$x\rightarrow a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于 0；
(2) 在点$a$的某去心领域内，$f'(x)$及$F'(x)$都存在且$F'(x)\neq 0$；
(3)$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在（或为$\infty$）
则$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$。
洛必达法则使用于以下类型的极限中：(未定式类型)
- $\frac{0}{0}$
- $\frac{\infty}{\infty}$
- $0\cdot\infty$
- $0^0$
- $1^{\infty}$
- $\infty^0$
- $\infty-\infty$。
等价替换适用的条件
在求极限问题中，不是所有的情况都是可以直接用等价替换的。
从等价无穷小的定义中$\lim \frac{\beta}{\alpha}=1$可以看出，$\alpha$与$\beta$的极限比值为1，所以在乘除关系中，可以使用等价无穷小进行替换。
等价替换适用于乘除关系中，部分加减关系中可以用等价无穷小替换。大致如下：
- 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，则$\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha_1}{\beta}=\lim\frac{\alpha}{\beta_1}=\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}$。
- 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1$，则$\alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1$。
- 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1$，则$\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1$。
简单地讲就是，若极限的分子分母中有加减关系，且等价替换后加减关系的结果为0，这时候一般不能用等价替换。