什么是感知机？感知机的XOR问题及解决方法
什么是感知机？感知机的XOR问题及解决方法
感知机概述
感知机是最早提出的一种监督学习的分类算法，是一种二分类的线性分类模型。
感知机模型
感知机由两层神经元构成，即输入层和输出层。在这个模型中，输入数据通过权重向量加权和偏置相加后，再通过激活函数产生输出。
这个过程中，激活函数的选择对于模型的表现至关重要。在单层感知机中，常用的激活函数是sign函数，它将输入映射到{0, 1}两个类别上。
单层感知机的数学表达式为：
f(x) = sign(\sum_{i=1}^nw_ix_i+b)=sign(\mathbf{w}^T\mathbf{x})
其中：
sign(x)=\begin{cases}+1&x>0\+0&x<0&\end{cases}
W^T=[b\ w_1\ w_2\ w_3\ w_4\ ...\ w_n]
X=\begin{bmatrix}1\x_1\ x_2\x_3\x_4\...\x_n\end{bmatrix}
W^T是权重向量，X是输入特征向量，b是偏置，sign函数则负责将结果映射到两个类别上。
激活函数的选择
在激活函数方面，逻辑回归通常使用sigmoid函数作为激活函数，而单层感知机则使用sign函数。
损失函数的选择
在损失函数方面，逻辑回归常用交叉熵损失函数，而单层感知机则基于误分类点到超平面的距离总和来构造损失函数。
超平面、线性可分和线性不可分
- 什么是超平面？
在n维空间中，超平面是一个将空间分成两部分的n-1维的平面。例如，在二维空间中，超平面是一条直线；在三维空间中，超平面是一个平面。
- 什么是线性可分和线性不可分？
如果一个数据集可以被一个超平面完全划分（完全正确地分类），则称该数据集是线性可分的数据集，否则称为线性不可分的数据集。
感知机的缺陷
感知机处理的是线性可分问题，即可以通过一个超平面将不同类别的数据完全分开的情况。对于线性不可分的问题，感知机就无法有效地进行分类。（例如，异或（XOR）问题是线性不可分的典型例子）
异或问题及其解决方案
异或问题
异或运算的规则是：当x1和x2取值不同时为1，取值相同时为0。下面我们来看一个简单的二维的二分问题，而且每个维度只有0和1两种取值方式。它有以下四种形式：
我们可以看到，前面的三种情况（“与”，“非”，“或”）都可以通过一条直线把0和1给区分开。但是到了“异或”就没有办法了，必须要画一个圈才能将0和1给区分开（1在圆圈里面，0在圆圈外面），也就是说，“异或”没有办法被线性可分。
解决方案
为了解决这个问题，我们可以采取一种策略，即通过叠加多个单层感知机来构建一个多层感知机（MLP），从而实现对非线性问题的分类。
异或运算可以通过 与、或、非 这三种基本运算组合而来。具体如下：
x1⊕x2
(¬x1∧x2)∨(x1∧¬x2)
下面我们来直观地看这个过程。
从图中可以看到，x1和x2同时输入到第一个感知机（左侧绿色圆圈）上，在第一个感知机上做(¬x1∧x2)运算；与此同时，x1和x2同时输入到第二个感知机（右侧绿色圆圈）上，在第二个感知机上做(x1∧¬x2)运算；将两个感知机的运算结果作为输入到第三个感知机（蓝色圆圈）上，在第三个感知机上完成(¬x1∧x2)∨(x1∧¬x2)运算。这样就解决了异或运算。具体过程如下：
(¬x1∧x2)有四种情况：
- （0，0）---- 0
- （1，0）---- 0
- （0，1）---- 1
- （1，1）---- 0
(x1∧¬x2)有四种情况：
- （0，0）---- 0
- （1，0）---- 1
- （0，1）---- 0
- （1，1）---- 0
以上两个感知机的输出结果作为第三个感知机的输入，于是(¬x1∧x2)∨(x1∧¬x2)有四种情况：
- 左下角接受输入（0，0）---- 输出为0
- 右下角接受输入（0，1）---- 输出为1
- 左上角接受输入（1，0）---- 输出为1
- 右上角接受输入（0，0）---- 输出为0
由于左上角和右上角的输入输出结果一致，把它们合并成一种情况，即下图所示：
从上图可以看出，合并后的样子显然就可以简单的进行线性分类了。