高等数学 函数与极限
高等数学 函数与极限
高等数学是理工科学生必修的基础课程，其中函数与极限是高等数学的重要组成部分。本文将系统地介绍函数的定义、特性、反函数，极限的定义、性质，以及函数的连续性及其相关定理。
一、函数
1、定义
自变量（x）到因变量（y）之间的映射关系。函数两要素：定义域和值域。定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
此函数定义域为（-∞，-2），（-2，2），（2，+∞），值域为（-∞，-1/4），（0，+∞）。
2、特性
有界性：若随意定义域中的数，使用存在 m <=f(x)<=M, 则称M是函数的上界，m为函数的下界。
单调性：定义域内任意的x1与x2，存在f(x1)<=f(x2)，则称为是单调递增的（定义域的单调变化，对应值域也在单调变化，则称函数为单调函数）
- 单调递增：如果 f(x1) ≤ f(x2)，则函数 f 是单调递增的。
- 严格单调递增：如果 f(x1) < f(x2)，则函数 f 是严格单调递增的。
- 单调递减：如果 f(x1) ≥ f(x2)，则函数 f 是单调递减的。
- 严格单调递减：如果 f(x1) > f(x2)，则函数 f 是严格单调递减的。
奇偶性：定义域中任意的的f(-x) = f(x) ,则函数为偶函数，若 f(-x) = - f(x) ，则为奇函数。
周期性：在定义域内存在一个T，f(x+t)=f(x)，则称函数为周期函数，t是函数的周期，若t达到最小值，则称t为最小周期，例如：sin(x+2π)=sin(x)
3、反函数
定义:存在 y= f(x) ,存在x=g(y) ,则 g(f(x)) = x且f(g(x))=y,则称g为f的反函数，记作 f 的-1 次方。
存在条件：一一对应：任意x1,x2，不存在f(x1)=f(x2)
满射：定义域的每个点都能在值域中存在，值域中的每个点也能在x中映射
例如：f(x) = 2x , 令 y= f(x) ，则得到 x=y/2 ，命名一个函数g(y)=y/2 ,可得：
g(f(x)) = y/2=2x/2=x , f(g(y)) = 2x=x*y/2=y。可证，f(x)和g(y)便是反函数 。
二、极限
定义：若存在一个数L，定义域内任意值得到的函数值 与L相减的绝对值都小于任何给定的正数，则称 L是该函数的极限值。存在极限值则称函数为 收敛，反之为发散。
例如：1/n ,n趋于无穷大时,函数则无穷小，所以函数的极限值为0
唯一性：收敛数列的极限值是唯一的（多个值跳跃成为震荡，-1的n次方）。
有界性：存在极限则可证明数列一定存在界限。
保序性：若两个数列 a 和b 都是收敛，且存在任意一点的值都是a<=b,则a的极限一定小于等于b的极限
四则运算：若两个数列 a 和b 都是收敛，则 a、b满足四则运算。
求极限：直接法：
夹逼定理：存在三个收敛数列 a、b、c 满足 a<=b<=c，那么在a和c的极限都为L时，b的极限也是L。
三、连续
定义：1.在a处函数有极限；2.在a处函数有定义；3.在a处极限等于函数值；
左连续：设函数定义域内容一点a,在a左边存在一个数，使函数在此区间内存在值，则称函数在a点左连续。同理，在右侧存在，则为右连续。函数连续便是左右连续都存在。
若函数在某点不存在或无穷大，亦或者左右两侧不相等（断开），则函数为不连续，该点为不连续点（不存在于定义域，则称为可去不连续点；若为断点，两侧值存在但不相等，称之为跳跃连续点；若为无穷大，则为无穷不连续点）
连续函数闭区间定理：
零点定理：若函数在[a,b]内连续，且f(a)*f(b)<0，必然存在某点的值为0.
介值定理：若函数在[a,b]内连续，且任意存在f(a)< k < f(b)，必然存在某点的值为k