C语言实现欧拉(euler)算法（附带源码）

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@小白创作中心

C语言实现欧拉(euler)算法（附带源码）

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/m0_61840987/article/details/144745221

欧拉算法（Euler's Method）是数值分析中常用的一种求解常微分方程（ODE）初值问题的迭代方法。它以18世纪的数学家莱昂哈德·欧拉命名，是一种简单的显式算法，用于通过离散的步长求解微分方程的数值解。尽管该方法精度相对较低，但由于其简单易理解，仍然是学习数值求解方法时的常见选择。

1. 欧拉算法简介

常微分方程的标准形式为：

其中，y(t) 是未知函数，t 是自变量，f(t,y) 是已知的函数。给定初始条件 y(t0)=y0，我们的目标是求解在一定区间内的数值解。

欧拉算法是通过对常微分方程进行离散化得到的，它的基本思想是用一个已知点的斜率（导数值）来估计下一个点的值。具体来说，假设我们已经知道某一点 tn 处的解 yn ，根据已知的导数信息（即方程右侧的函数值），可以计算出下一个点 tn+1 处的近似值 yn+1 。

欧拉算法的迭代公式如下：

其中，h 是步长，表示在 t 轴上的步进大小。通过这个公式，我们可以依次计算出从 t0 到 tN 的数值解。

2. 欧拉算法的原理

欧拉方法的核心思想是使用泰勒级数的前两项来逼近常微分方程的解。通过泰勒展开式：

其中，y′(t) 就是微分方程右边的函数 f(t,y)。因此，我们可以忽略 O(h2)项，得到欧拉法的公式：

这就是欧拉法的基本公式。通过不断地迭代计算，我们可以得到近似解。

3. 欧拉算法的实现过程

3.1 选择合适的步长

步长 h 对于欧拉法的精度和效率至关重要。较小的步长能够提高精度，但同时会增加计算量；而较大的步长则可能导致较大的误差。通常情况下，可以通过实验或理论分析选择一个合适的步长。

3.2 初始条件和迭代过程

在使用欧拉算法时，首先需要确定初始条件 y(t0)=y0 ，然后通过递推公式计算 y1,y2,…,yn，直到达到所需的时间区间。

3.3 误差分析

欧拉方法的局部截断误差是 O(h2)，而全局误差则是 O(h)。这意味着欧拉法在计算时误差会随步长的增大而线性增加。为了提高精度，可以采用更复杂的方法，如改进的欧拉方法（即改进欧拉法或龙格-库塔法）。

4. C语言代码实现

以下是使用C语言实现欧拉算法的示例程序。假设我们要求解的常微分方程是：

我们将在区间 [0,5] 上使用步长 h=0.1 来进行数值求解。

#include <stdio.h>

// 定义微分方程右侧的函数 f(t, y)
double f(double t, double y) {
    return -2 * y + 1;  // 例如，dy/dt = -2y + 1
}

// 欧拉法求解微分方程
void euler_method(double (*f)(double, double), double t0, double y0, double t_end, double h) {
    double t = t0;         // 当前时刻
    double y = y0;         // 当前解的值
    printf("t = %.2f, y = %.5f\n", t, y);  // 输出初始条件
    // 从 t0 开始进行迭代，直到 t_end
    while (t < t_end) {
        y += h * f(t, y);  // 计算 y 的新值
        t += h;             // 递增时间
        printf("t = %.2f, y = %.5f\n", t, y);  // 输出当前时刻的解
    }
}

int main() {
    double t0 = 0.0;      // 初始时间
    double y0 = 0.0;      // 初始值
    double t_end = 5.0;   // 结束时间
    double h = 0.1;       // 步长
    // 调用欧拉法求解微分方程
    euler_method(f, t0, y0, t_end, h);
    return 0;
}

5. 程序说明

f函数：这是我们要解的微分方程右侧的函数。对于本例来说，我们的方程是 dy/dt=−2y+1，所以 f 函数的实现就是返回 −2y+1。
euler_method函数：这个函数实现了欧拉算法。它接收微分方程函数 f，初始条件 t0,y0，结束时间 t_end 和步长 h。通过一个 while 循环，不断计算新的 y 值并输出，直到达到结束时间。
主函数：main 函数中设置了初始条件和参数，并调用 euler_method 进行求解。

6. 输出结果

假设使用步长 h=0.1 进行计算，输出结果大致如下：

t = 0.00, y = 0.00000
t = 0.10, y = 0.10000
t = 0.20, y = 0.18000
t = 0.30, y = 0.24400
t = 0.40, y = 0.28560
t = 0.50, y = 0.30768
t = 0.60, y = 0.31514
t = 0.70, y = 0.31411
t = 0.80, y = 0.31090
t = 0.90, y = 0.31144
t = 1.00, y = 0.31411
...