行列式基础知识
行列式基础知识
行列式是线性代数中的一个重要概念，主要用于求解线性方程组、计算矩阵的逆等。本文将详细介绍行列式的定义、计算方法、性质以及应用。
什么是行列式
行列式是一个数学概念，主要用于线性代数中，它是一个可以从方阵（即行数和列数相等的矩阵）形成的一个标量（即一个单一的数值）。
二阶行列式
二阶行列式可以通过对角线法则来计算：
图中红色线为主对角线，蓝色线为副对角线。
三阶行列式
三阶行列式的计算可以通过对角线法则或平移行列式中的元素来实现：
将第一、二列平移到行列式右侧，做出六条斜对角线，对角线上的元素相乘，红色相加的和减去蓝色相加的和。
n阶行列式
排列与逆序数
排列是指从一组元素中选出若干个元素，并按照一定的顺序排列起来。例如，集合 {1,2,3}的全排列有 3!=6种。
逆序是指在一个排列中，如果一个较大的数排在一个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。逆序的总数称为逆序数。
n阶行列式定义
以3阶行列式为例，从上述公式可以看出：
- 3阶行列式按行展开后为6项，每项为3个不同行不同列的3个元素相乘
- aij元素的行标i都是123的自然排列
- aij元素列标j则为：123、231、312、321、213、132，总数为3!=6
通过观察公式可以看出，逆序数为偶数的排列的运算符号为+，为奇数的排列的运算符号为-。
行列式性质
- 转置性质：行列式的转置等于行列式本身。
- 交换性质：交换行列式的两行会导致行列式的值变为其原来的相反数。
- 倍乘性质：用k乘以行列式某一行的所有元素，等于用k乘以行列式。
- 分解性质：如果一个行列式的某一行（或某一列）是两个数之和，那么这个行列式可以表示为两个行列式的和。
- 加法性质：将行列式的某一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上，行列式的值保持不变。
代数余子式
余子式
给定一个 n×n的矩阵 A，其第 i 行第j 列的元素 aij的余子式 Mij是指去掉第i行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式。
代数余子式
给定一个 n×n 的矩阵 A，其第i行第j列的元素 aij 的代数余子式 Cij定义为：
Cij = (-1)^(i+j) * Mij
其中，Mij是元素 aij 的余子式。
拉普拉斯展开定理
行列式等于它的某一行元素与其代数余子式的乘积之和。行列式按第i 行展开的公式为：
det(A) = a1i * C1i + a2i * C2i + ... + ani * Cni
克莱姆法则
克莱姆法则用于求解线性方程组。假设有一个由 n 个线性方程组成的n 元线性方程组，可以写成AX=B的形式。如果系数矩阵 A 的行列式 det(A)≠0，那么方程组有唯一解，且解 X 的每一个分量 xi可以通过以下公式计算：
xi = det(Ai) / det(A)
其中，Ai是将矩阵 A 的第i 列替换为向量 B 后得到的新矩阵。