三门问题的数学原理及Matlab模拟实验
三门问题的数学原理及Matlab模拟实验
三门问题，又称蒙提霍尔问题，是一个源自美国电视游戏节目的经典概率论问题。这个问题因其反直觉的结论和深刻的数学内涵而闻名，不仅在学术界广受讨论，也在大众文化中产生了深远影响。本文将从问题的玩法介绍、数学解释、直观解释以及通过Matlab进行的模拟实验等多个维度，全面解析这一迷人的数学难题。
一、三门问题的玩法介绍
三门问题是一个经典的概率问题，游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
有人认为换门与不换门不会影响赢得汽车的概率。而事实确是反直觉的，换门的获胜概率会更高。
二、三门问题的数学解释
不妨设汽车位于1号门，记事件
：玩家选择了
号门（
），记事件
：赢得汽车。
采取不换门策略时，只有当玩家第一次选对门才能赢得汽车。显然赢得汽车的概率为
下面计算换门时，赢得汽车的概率。由全概率公式，赢得汽车的概率，等于玩家选择每个门的概率与对应选择下赢得汽车的概率乘积之和，即
若玩家最开始选择的是1号门，在经过换门操作之后，必定会开出山羊，无法赢得汽车，即
若玩家最开始选择的是2号门或3号门，由于主持人会打开另一扇有山羊的门，此时换门之后必定会选择1号门，赢得汽车。则
综合上面公式，求得
三、三门问题的直观解释
事实上，换门与不换门造成的概率不同来源于题目中的一个陷阱，即主持人知道藏有汽车的门是哪一扇，并帮助排除了一个“错误答案”。如果通过列举法把所有情况罗列出来，可以发现一个结论。即若采取不换门策略，当玩家刚开始选对门时游戏获胜，刚开始选错门时游戏失败；若采取换门策略时，当玩家刚开始选对门时，经过换门，游戏失败，而刚开始选错门时，由于主持人排除了另一个错误答案，换门后游戏获胜。显然换门策略赢得游戏的概率会更高。
四、Matlab模拟实验
为了验证理论结果，我们使用Matlab软件进行模拟实验，编写代码流程如下。
具体代码如下：
n=1000; %实验次数
m=0;p=0; %计数器
for i=1:1000
%生成1到3的随机数a，代表一局游戏中车所在的门号
a=randperm(3);
a(1);
%生成1到3的随机数b，代表玩家开始时选择的门
b=randperm(3);
b(1);
%策略1：选择不换门
%一开始选对才会赢得游戏
if b(1)==a(1)
m=m+1;
end
%策略2：选择换门
%一开始没选对，换了之后就会赢得游戏
if b(1)==a(2) || b(1)==a(3)
p=p+1;
end
end
disp(['游戏进行',num2str(n),'次'])
disp(['选择不换门赢得游戏',num2str(m),'次，频率是',num2str(m/n)])
disp(['选择换门赢得游戏',num2str(p),'次，频率是',num2str(p/n)])
运行结果：采用不换门策略赢得汽车的频率约为1/3，而采用换门策略赢得汽车的频率约为2/3。
至此问题完美解决。