一元二次方程的判别式与求函数的极值
一元二次方程的判别式与求函数的极值
本文将详细介绍如何利用一元二次方程的判别式来求解函数的极值问题。首先，我们将通过图象说明如何应用判别式求解二次函数的极值，然后将这种方法推广到更一般的函数形式。
利用一元二次方程的判别式, 可以求一类函数的极值, 我们先说明如何应用判别式，求二次函数的极值，然后将此法推广去求 $y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{{a}^{\prime }{x}^{2}+{b}^{\prime }x+{c}^{\prime }}$ 这一类函数的极值.
我们借助于函数的图象来说明这个方法, 先作出 $y=a{x}^{2}+bx+c\left(ae 0\right)$的图象, 然后用一族和 $x$ 轴平行的直线 $y=d$ 去截割它 (图 5.25). 直线 $y=d$和抛物线的交点满足方程组:
$\left{\begin{array}{l}y=a{x}^{2}+bx+c...\left(5.19\right)\ y=d...\left(5.20\right)\end{array}\right.$
将 (5.20) 代人 (5.19) 得到交点横坐标满足的方程:
$a{x}^{2}+bx+\left(c-d\right)=0$
为简单起见就写成：
$a{x}^{2}+bx+\left(c-y\right)=0...\left(5.21\right)$
因为直线与抛物线相交，故方程 (5.21) 有实数解，也就是说它的判别式：
$D={b}^{2}-4a\left(c-y\right)\ge 0...\left(5.22\right)$
在 $a>0$ 的情况下，让 $y$ 的值越来越小，也就是说让直线 $y=d$ 平行 $x$ 轴下降，这时两个交点 $M,N$ 就越来越靠近，直到这两个交点重合时为止，也就是说当直线 $y=d$ 与抛物线切于顶点时为止. (5.21) 的判别式 $D={b}^{2}-4a\left(c-y\right)=0$,就是函数 $y=a{x}^{2}+bx+c$ 的极小值所满足的条件，所以 ${y}_{min}=\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$.
在 $a<0$ 的情况下, 让直线 $y=d$ 平行 $x$ 轴上升, 直到两交点重合为止,同样 (5.21) 的判别式 $D={b}^{2}-4a\left(c-y\right)=0$ 是 (5.19) 的极大值所满足的条件，所以 ${y}_{\text{max}}=\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$.
为求极值点, 我们应用根和系数的关系. 设 ${x}_{1},{x}_{2}$ 是方程 (5.21) 的两个实数根, 于是 ${x}_{1}{+}{x}_{2}=-\frac{b}{a}$, 当 ${x}_{1}={x}_{2}$ 时, 则 ${x}_{1}={x}_{2}=-\frac{b}{2a}$, 因此, 极值点 ${x}_{0}=-\frac{b}{2a}$ 。
通过上面的说明，可以知道 (5.21) 的判别式 $D=0$ 是（5.19）的极值的必要条件，剩下的问题是怎样辨认 $D=0$ 的解是极大值或是极小值。由于我们在前面已经知道了二次函数的极值存在且唯一和二次函数的图象，所以根据 $a$ 的符号就可以确定 $D=0$ 的解是极大值还是极小值. 假如我们不知道二次函数的性质和它的图象，那么我们用什么办法去辨认呢？一个常用的方法就是在解方程 $D=0$ 的同时还去解不等式 $D>0$. 使 $D>0$ 成立的每个解 $y$ 都使直线 $y=d$ 和抛物线 (5.19) 有两个交点, 故这些交点的纵坐标可以由不等式:
$D={b}^{2}-4a\left(c-y\right)>0$
解出. 它的解:
当 $a>0$ 时, $y>\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$;
当 $a<0$ 时, $y<\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$.
把 $D=0$ 和 $D>0$ 的解合取在一起得到 $D\ge 0$ 的解：
$y\ge \frac{4ac-{b}^{2}}{4a}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left(a>0\right)\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{或}\phantom{\rule{1em}{0ex}}y\le \frac{4ac-{b}^{2}}{4a}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left(a<0\right)$
由上面第一个不等式知道, 二次函数在极值点 ${x}_{0}=-\frac{b}{2a}$ 的邻近的函数值都比 $\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$ 大，故 $\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$ 是 (5.19) 的极小值. 由第二个不等式知道，二次函数在极值点 ${x}_{0}=-\frac{b}{2a}$ 的邻近的函数值都比 $\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$ 小，故 $\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$ 是 (5.19)的极大值.
上面应用二次方程判别式, 求二次函数的极值的方法, 也可以用来求 $y=$ $\frac{a{x}^{2}+bx+c}{{a}^{\prime }{x}^{2}+{b}^{\prime }x+{c}^{\prime }}$ 这类函数的极值, 下面通过例子来说明.
例 5.25 求 $y=\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$ 的极值.
解：假设给 $y$ 在函数
$y=\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}...\left(5.23\right)$
值域中的任何一个值, 那么 (5.23) 中和 $y$ 对应的 $x$ 值是方程
${x}^{2}+\left(2-y\right)x+4=0...\left(5.24\right)$
的实数解.
方程（5.24）的判别式是
$D=\left(2-y{\right)}^{2}-16=\left(y+2\right)\left(y-6\right)...\left(5.25\right)$
由 $D=0$ 得到（5.24）有重根的条件，也就是（5.23）的极值满足的条件，解得
$y1=-2\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{或}\phantom{\rule{1em}{0ex}}{y}_{2}=6$
将 ${y}_{1}=-2$ 代人 (5.24), 得到对应于 -2 的 $x$ 值
${x}_{1}=-\frac{4}{2}=-2$
将 ${y}_{2}=6$ 代人 (5.24), 得到对应于 6 的 $x$ 值
${x}_{2}=-\frac{2-6}{2}=2$
由 $D>0$ 得到 (5.24) 有不同实根的条件, 也就是说, 它的解是在 (5.23)的值域中, 并且是在点 ${x}_{1}=-2,{x}_{2}=2$ 附近的函数值. 解得
$y<-2\phantom{\rule{1em}{0ex}}\text{和}\phantom{\rule{1em}{0ex}}y>6$
由 $y<-2$ 和 $y>6$, 知道: -2 是 (5.23) 的极大值, 6 是 (5.23) 的极小值（图 5.26）.
例 5.26 说明函数 $y=\frac{2x}{1-{x}^{2}}$ 没有极值.
解：假设给 $y$ 在函数
$y=\frac{2x}{1-{x}^{2}}...\left(5.26\right)$
的值域中的一个值，那么 (5.26) 中和 $y$ 对应的 $x$ 值是方程
$y{x}^{2}+2x-y=0...\left(5.27\right)$
的实数解.
(5.27) 的判别式是 $D=4+4{y}^{2}$ ，因为 $D=0$ 没有实数解，而 $D>0$ 的解是一切实数，即 $y\in R$ 。
这就是说函数 (5.26) 的值域是一切实数. 因此 (5.26) 没有极值（图 5.27）。