如何掌握CSP-J 信奥赛中的递推算法

如何掌握CSP-J 信奥赛中的递推算法

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_66461496/article/details/145542572

递推算法是CSP-J信奥赛中的重要算法之一，掌握递推算法需要从基础概念入手，逐步理解递推思想，并通过大量经典例题训练。本文将系统化地介绍递推算法的核心思想、必须掌握的递推模型、递推四步解题法、经典例题精讲、调试与优化技巧以及提升训练建议等内容。

一、递推算法的核心思想

递推是通过已知的初始条件和递推关系式，逐步推导出后续结果的算法。其特点是：

1. 自底向上：从小规模问题逐步解决大规模问题
2. 无重复计算：通过存储中间结果避免重复运算
3. 时间复杂度优化：通常可将指数级复杂度降为多项式级

二、必须掌握的递推模型

1. 线性递推

• 斐波那契数列：
  f(n) = f(n-1) + f(n-2)
• 爬楼梯问题：每次可走1/2阶，求到第n阶的方法数
• 平面分割问题：n条直线最多将平面分成多少区域

2. 二维递推

• 网格路径计数：从左上到右下只能向右/向下走的路径数
• 数字三角形：求从顶端到底层的最大路径和

3. 组合递推

• 杨辉三角：组合数递推公式
  C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)
• 错位排列：n个信封全装错的情况数
  D(n) = (n-1)(D(n-1)+D(n-2))

4. 状态机递推

• 股票买卖问题：含冷冻期的最大收益
• 打家劫舍问题：不能偷相邻房屋的最大收益

三、递推四步解题法

1. 定义状态：明确dp[i]或dp[i][j]的含义
2. 建立递推式：找出状态转移方程
3. 初始化条件：设置初始值（往往是最简单情况）
4. 确定计算顺序：确保递推时所需状态已计算

四、经典例题精讲

例题1：斐波那契数列（线性递推）

int fib(int n) {
    int a = 0, b = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++){
        int c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return n>=1 ? b : a;
}

关键点：用滚动变量优化空间到O(1)

例题2：网格路径计数（二维递推）

int uniquePaths(int m, int n) {
    vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,1));
    for(int i=1; i<m; i++)
        for(int j=1; j<n; j++)
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
    return dp[m-1][n-1];
}

优化：使用一维数组可将空间复杂度降为O(n)

例题3：错位排列（组合递推）

int derangement(int n) {
    if(n == 1) return 0;
    int d1 = 0, d2 = 1;
    for(int i=3; i<=n; i++){
        int cur = (i-1)*(d1 + d2);
        d1 = d2;
        d2 = cur;
    }
    return d2;
}

递推式推导：第n个元素有n-1种位置选择，每个选择对应两种子问题

五、调试与优化技巧

1. 打印中间状态：输出递推表格验证计算过程
2. 边界测试：特别关注n=0,1等极端情况
3. 空间优化：滚动数组、状态压缩
4. 取模处理：对大数结果及时取模防止溢出

六、提升训练建议

1. 专项训练：按递推类型分类刷题（洛谷题单推荐）

• 线性递推：P1255 数楼梯
• 二维递推：P1002 过河卒
• 状态机：P1359 租用游艇

2. 对比学习：比较递推与递归的异同
3. 模拟比赛：限时完成历年CSP-J递推真题

通过系统化学习+刻意练习，递推算法将成为你竞赛中的得分利器。建议每周投入5小时专项训练，2个月即可熟练掌握。关键是多思考递推式的建立过程，而非死记硬背模板。