层次分析法（AHP）详解+完整代码
层次分析法（AHP）详解+完整代码
层次分析法（AHP）是一种常用的多准则决策分析方法，广泛应用于各个领域。本文将详细介绍AHP的原理、步骤和具体实现，帮助读者掌握这一实用的决策分析工具。
层次分析法（AHP）
1.算法简述与原理分析
层次分析法是一种主观赋值评价方法，也是一个多指标综合评价算法，常用于综合评价类模型。层次分析法将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等多个层次，并在此基础上进行定性和定量分析，是一种简单、实用的算法。
原理：是在分析一个现象或问题之前，首先将现象或问题根据他们的性质分解为相关因素，并依据因素之间的关系形成一个多层次的结构模型。然后通过经验或专家来判断低层元素对高层元素的相对重要性，并根据重要性的程度得出权重排序。
2.AHP层次分析法过程
层次分析法进行建模，大致分为以下四步：
1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
2.对于同一层次的个元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较，构造两两比 较矩阵（判断矩阵）。
3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。
4.填充权重矩阵，根据矩阵计算得分，得出结果。
2.1构建层次结构模型
即将所有相关因素分为目标层、准则层和方案层
2.2构造判断矩阵
即把准则层的指标进行两两判断，确定各准则层对目标层的权重
对于准则层A我们可以构建：
q其中A中的元素满足：
w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … （ 2 ） {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………（2）wi =n1 j=1∑n k=1∑n akj aij ,(i=1,2,…,n)……………（2）
矩阵里面写什么简单来说就是假如有三个元素A、B、C，A和B相比A重要多少，A比C中要多少，B比C中要多少，这个“多少”我们通常使用Santy的1-9标度方法给出，即：
2.3层次单排序
大白话说一下，就是求解各个指标的权重。计算方法有三种：算数平均法、几何平均法和特征值法。（小tips：在实际建模中，不同的计算方法可能会导致结果有所偏差，为了保证结果的稳健性，可以采用多种方法分别对权值进行求解，避免单一方法所需产生的误差，使得出的结论更全面有效。）
举个栗子，这是一个判断矩阵。
2.3.1方法1：算术平均法求权重
Step1：将判断矩阵按照列归一化（每个元素除以其所在列的和，如1/（1+1/2+1/4）=0.5882）
Step2：将归一化的列相加（按行求和）
Step3：将相加后的每个元素除以n即可得到对应的权重向量
转换为数学公式就是：
w i = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a k j , ( i = 1 , 2 , … , n ) … … … … … （ 2 ） {w_i} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{{a_{ij}}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}} }},(i = 1,2, \ldots ,n)}……………（2）wi =n1 j=1∑n k=1∑n akj aij ,(i=1,2,…,n)……………（2）
2.3.2方法2：几何平均法求权重（又叫方根法）
举个栗子：
Step1：计算每行乘积的m次方，得到一个m维向量
景色：1 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 1 3 ∗ 8 5 = 2.3162 \sqrt[5]{{155*\frac{1}{3}*8}} = 2.316251∗5∗5∗31 ∗8 =2.3162
费用：1 5 ∗ 1 ∗ 1 4 ∗ 1 6 ∗ 2 5 = 0.4409 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}1\frac{1}{4}*\frac{1}{6}*2}} = 0.4409551 ∗1∗41 ∗61 ∗2 =0.4409
居住：1 5 ∗ 4 ∗ 1 ∗ 1 5 ∗ 3 5 = 0.8635 \sqrt[5]{{\frac{1}{5}41*\frac{1}{5}*3}} = 0.8635551 ∗4∗1∗51 ∗3 =0.8635
饮食：3 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 1 ∗ 6 5 = 3.5195 \sqrt[5]{{36516}} = 3.519553∗6∗5∗1∗6 =3.5195
旅途：1 8 ∗ 1 2 ∗ 1 3 ∗ 1 6 ∗ 1 5 = 0.3222 \sqrt[5]{{\frac{1}{8}\frac{1}{2}\frac{1}{3}*\frac{1}{6}*1}} = 0.3222581 ∗21 ∗31 ∗61 ∗1 =0.3222
Step2：把向量标准化即为权重向量，即得到权重
设SUM=2.3162+0.4409+0.8635+3.5195+0.3222
则 景色：2.3162/SUM=0.3104
费用：0.4409/SUM=0.0591
居住：0.8635/SUM=0.1157
饮食：3.5195/SUM=0.4716
旅途：0.3222/SUM
转换为数学公式为：
w i ‾ = ∏ j = 1 m a i j m … … … … （ 1 ） \overline {{w_i}} = \sqrt[m]{{\prod\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} }}…………（1）wi =mj=1∏m aij …………（1）
w i = w i ‾ ∑ j = 1 m w j ‾ … … … … （ 2 ） {w_i} = \frac{{\overline {{w_i}} }}{{\sum\nolimits_{j = 1}^m {\overline {{w_j}} } }}…………（2）wi =∑j=1m wj wi …………（2）
2.3.3方法3：特征值法求权重
一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0。特征值为n时，对应的特征向量刚好为：
k [ 1 a 11 , 1 a 12 , … , 1 a 1 n ] T ( k ≠ 0 ) k{\left[ {\frac{1}{{{a_{11}}}},\frac{1}{{{a_{12}}}}, \ldots ,\frac{1}{{{a_{1n}}}}} \right]^T}(k \ne 0)k[a11 1 ,a12 1 ,…,a1n 1 ]T(k=0)
那么我们直接可以将特征向量归一化即可求得权重向量。
2.4一致性检验
2.4.1求解最大特征值
求得权重矩阵后，可以计算最大特征跟，公式为：
λ max = 1 n ∑ i = 1 n ( A W ) i W i {\lambda {\max }} = \frac{1}{n}\sum\limits{i = 1}^n {\frac{{{{(AW)}_i}}}{{{W_i}}}}λmax =n1 i=1∑n Wi (AW)i
其中n为维度数，例如之前我们举得例子因素为景色、费用、居住、饮食、旅途时，n=5。AW为：判断矩阵*标准化后的权重，然后按行的累加值。
还是举个栗子：
判断矩阵A为：
标准化权重W为：
其中A*W为：(就是对应位置相乘)
AW的值就是按行相加。
则最大特征值为：
λ max = x / n = 5.416 {\lambda _{\max }} = x/n = 5.416λmax =x/n=5.416
其中，x=AW1/W1+AW2/W2+…+AWn/Wn。n为矩阵阶数。
2.4.2求解CI、RI、CR值，判断一致性是否通过
Step1：一致性指标CI值的求解公式为：
C I = λ max − n n − 1 CI = \frac{{{\lambda _{\max }} - n}}{{n - 1}}CI=n−1λmax −n
将2.4.1的例子代入可得CI=0.1042
Step2：平均随机一致性指标RI值是通过查表得出来的：
将2.4.1的例子代入可得RI=1.12
Step3：计算一致性比例CR：
C R = C I / R I CR=CI/RICR=CI/RI
将Step1和Step2的计算结果代入可得CR=0.093
Step4：判断是否通过一致性检验：
CR<0.1 时，表明判断矩阵 A 的一致性程度被认为在容许的范围内，此时可用 A 的特征向量开展权向量计算；若 C.R.≥0.1, 说明我们在构建判断矩阵时出现了逻辑错误，需要重新构建判断矩阵。如例题中CR=0.093<0.1，则视为检验合格。
Matlab实现代码（只需要替换判断矩阵即可）
A=[1 2 3 4 5;1/2 1 2 3 4;1/3 1/2 1 2 3;1/4 1/3 1/2 1 2;1/5 1/4 1/3 1/2 1];
%disp('请输入准则层判断矩阵A(n阶)');
%A=input('A=');
[n,n]=size(A);
Sum_A=sum(A);
SUM_A=repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A=A./SUM_A;
disp('算术平均法求权重的结果为：')
disp(sum(Stand_A,2)./n);
Prduct_A=prod(A,2);
Prduct_n_A=Prduct_A.^(1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为：')
disp(Prduct_n_A./sum(Prduct_n_A));
[V,D]=eig(A);%求得特征向量和特征值
%求出最大特征值和它所对应的特征向量
tempNum=D(1,1);
pos=1;
for h=1:n
if D(h,h)>tempNum
tempNum=D(h,h);
pos=h;
end
end
w=abs(V(:,pos));
w=w/sum(w);
t=D(pos,pos);
disp('准则层特征向量w=');disp(w);disp('准则层最大特征根t=');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.615 1.62 1.63];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败，请重新进行评分!');
end
disp('请输入方案层各因素对准则层各因素权重的成对比较阵');
for i=1:n
disp('请输入第');disp(i);disp('个准则层因素的判断矩阵B');disp(i);
end
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败，请重新进行评分!');
end
disp('请输入方案层各因素对准则层各因素权重的成对比较阵');
for i=1:n
disp('请输入第');disp(i);disp('个准则层因素的判断矩阵B');disp(i);
end
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参考文章：https://mpaidata.blog.csdn.net/article/details/122081827