等价无穷小替换公式整理：定义、公式及使用条件

等价无穷小替换公式整理：定义、公式及使用条件

引用

高三网

1.

http://m.gaosan.com/gaokao/825036.html

等价无穷小是高等数学中一个重要的概念，主要用于简化函数极限的计算。本文将详细介绍等价无穷小的定义、常用的替换公式及其使用条件，帮助读者更好地理解这一概念。

等价无穷小是指在同一自变量的趋近过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。等价无穷小主要用于计算函数极限，能够简化问题、加快计算速度。

等价无穷小替换公式

等价无穷小替换公式是高等数学中用于简化极限计算的一种方法。它允许在极限运算过程中，将某些函数替换为等价的无穷小量，从而简化计算过程。以下是一些常用的等价无穷小替换公式及其使用条件：

• $\sin x \sim x$：当$x$趋近于0时，$\sin(x)$可以替换为$x$。
• $\tan x \sim x$：当$x$趋近于0时，$\tan(x)$可以替换为$x$。
• $\arcsin x \sim x$：当$x$趋近于0时，$\arcsin(x)$可以替换为$x$。
• $\arctan x \sim x$：当$x$趋近于0时，$\arctan(x)$可以替换为$x$。
• $\ln(1+x) \sim x$：当$x$趋近于0时，$\ln(1+x)$可以替换为$x$。
• $e^x-1 \sim x$：当$x$趋近于0时，$e^x-1$可以替换为$x$。
• $a^x-1 \sim x\ln a$：当$x$趋近于0时，$a^x-1$可以替换为$x\ln a$。
• $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$：当$x$趋近于0时，$1-\cos(x)$可以替换为$\frac{1}{2}x^2$。
• $(1+x)^n-1 \sim nx$：当$n$为正整数，且$x$趋近于0时，$(1+x)^n-1$可以替换为$nx$。
• $\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$：当$a>0$且$a\neq1$，$x$趋近于0时，$\log_a(1+x)$可以替换为$\frac{x}{\ln a}$。

等价无穷小的替换原则

1. 替换的无穷小量必须具有相同的极限性质，即当自变量趋于极限点时，替换前后的无穷小量必须趋于同一个无穷小量。
2. 替换的无穷小量必须具有相同的无穷小阶数，否则替换可能会导致错误的结果。
3. 替换的无穷小量必须具有相同的变化趋势。
4. 在乘除运算中可以使用等价无穷小替换，但在加减运算中需要满足特定条件，即代换后的加减法中，前一个被代换后的数除以后一个被代换后数不等于±1。
5. 被代换的量在去极限时极限值为0。
6. 被代换的量作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但作为加减的元素时就不可以。

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量$x$无限接近某个值$x_0$($x_0$可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值$f(x)$与零无限接近，即$f(x)=0$，则称$f(x)$为当$x\rightarrow x_0$时的无穷小量。