同一律与柯尔莫哥洛夫的数学观
同一律与柯尔莫哥洛夫的数学观
本文探讨了同一律与数学家柯尔莫哥洛夫的数学观，涉及数学、物理学、宇宙学等多个领域，探讨了符号知识的限制、抽象思维方法的误差以及长期复杂事物变化研究中的问题。
柯尔莫哥洛夫简介
图1：柯尔莫哥洛夫（Андре́й Никола́евич Колмого́ров, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903-04-25~1987-10-20）
同一律对符号知识的限制
“同一律 law of identity”：既是人类认识世界的重要方式，又是将世界和人类隔离开的具体方式。以数学和逻辑为例，每一步的符号公式的推导，都会“不自觉”地偏离原来的目标。对于简单、单纯的事物变化，“同一律 law of identity”成立的程度高，符号公式推导的结果就接近实际。反之，对于复杂、联系的事物变化，“同一律 law of identity”成立的程度低，符号公式推导的结果就偏离实际。
大数学家柯尔莫哥洛夫认为：研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。
柯尔莫哥洛夫进一步认为：认识具体的东西（现象）的过程中总是具有下面两个互相缠绕的倾向。
- 仅将研究对象（现象）的形式分离出来，对这个形式作逻辑上的解析。
- 弄清与已经确立的形式所不相符的“现象的方面”，向具有更多的可塑性，更能完整地包含“现象”的新的形式转化。
如果在研究的过程中必须时刻考察现象的本质上新的侧面，因而研究中的困难主要体现在上面的(2)的部分。这样的现象的研究（如生物学、经济学、人文科学等）中，数学方法就不是主要的。在这种时候，对现象的所有方面的辨证分析会由于数学形式反而变得含糊。
与此相反，如果用比较简单的、稳定的某种形式便可以把握研究对象（现象），并且在这个形式的范围内产生了在数学上需要加以特殊研究（特别是需要创造新的记号和计算法）的困难而复杂的问题时，这种现象的研究（如物理学）则在数学方法的支配圈内。
长期的、复杂的事物变化研究
用符号来表示知识，每推导一步公式，都会实质性地、隐含地引入一个新的假设，作为推导结果的“新公式”就会偏离“原来那个公式”的本意。微小的偏差，可能引起偏离实际的“推理-计算”结果。
例如：对宇宙未来的研究，目前所采用的物理知识（规律）不一定满足真正的精度要求，所推测出的结果，不一定真实。现在主流的我们的宇宙“死神永生”（“大冻结”和“大撕裂”）结局，很可能是不真实的。
观测上，宇宙学对暗能量的测量有约百分之一的误差。所以，就算暗能量的性质不发生突变，人类也只能预测数百倍于现在宇宙年龄的未来。
抽象思维方法
抽象思维本身已不是尽善尽美的思维方法，它和现实的本来面目已存在距离，在社会科学领域比比皆是的逻辑混乱的做法，更让以抽象思维为基础的“社会科学”远离了科学范畴。
研究客体的能动性和社会性导致的复杂加大了社会科学的抽象思维的困难，但社会科学的抽象思维的低水平主要还是因为人们忘了严密的抽象思维都有哪些要求。
附录：Kolmogorov 的数学观
图2：伊藤清（Kiyosi Itô, 1915-09-07~2008-11-10）
了解 Kolmogorov 的数学观的最好的资料，大概要属苏联大百科辞典中他所执笔的“数学”部分吧。已经出了英文版，我读了英文版，与原文（俄语）比较，英文版稍微缩略了一些，在这篇文章中，他先阐述了其数学观，然后通述了自古至今的数学史，并且从他的数学观出发，详细描述了这个历史的各个阶段，它可以说是为数学家、科学家们所写的数学史。我饶有兴趣地一口气读完了全篇。要说明 Kolmogorov 的数学观，不仅应当看这篇文章的开始部分，也应当参照占该文大部分的数学史，但由于篇幅及时问的限制，我仅将文章的开始部分简要介绍如下。
根据 Kolmogorov的观点，数学是现实世界中的数量关系与空间形式的科学。
- 因此数学的研究对像是产生于现实中的。然而作为数学加以研究时，必须离开现实的素材（数学的抽象性）。
- 但是，数学的抽象性并不意味着完全脱离于现实素材。需要用数学加以研究的数量关系与空间形式的种类，应科学技术的要求，是不断增加着的。因此上面定义的数学内容在不断地得到丰富。
数学与诸科学：数学的应用是多种多样的，从原理上讲，数学方法的应用范围是无边际的，即物质的所有类型的运动都可以用数学加以研究。但是数学方法的作用与意义在不同情况下是不同的。用单一的模式来包罗现象的所有侧面是不可能的。认识具体的东西（现象）的过程中总是具有下面两个互相缠绕的倾向。
- 仅将研究对象（现象）的形式分离出来，对这个形式作逻辑上的解析。
- 弄清与已经确立的形式所不相符的“现象的方面”，向具有更多的可塑性，更能完整地包含“现象”的新的形式转化。
如果在研究的过程中必须时刻考察现象的本质上新的侧面，因而研究中的困难主要体现在上面的(2)的部分。这样的现象的研究（如生物学、经济学、人文科学等）中，数学方法就不是主要的。在这种时候，对现象的所有方面的辨证分析会由于数学形式反而变得含糊。
与此相反，如果用比较简单的、稳定的某种形式便可以把握研究对象（现象），并且在这个形式的范围内产生了在数学上需要加以特殊研究（特别是需要创造新的记号和计算法）的困难而复杂的问题时，这种现象的研究（如物理学）则在数学方法的支配圈内。
做了这些一般性的论述后，首先详细说明了行星运动完全是在数学方法的支配圈内，在这里数学形式是对于有限质点系的牛顿的常微分方程。
从力学转向物理学，数学方法的作用几乎不减，但应用中的困难明显增加。在物理学中，几乎没有不必使用高级数学技术（如偏微分方程理论、泛函分析）的领域。但是研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于“为运用数学所作的假设的选择”和“由数学手段所得结果的解释”中。
数学方法具有包含从考察的某个水平开始，向更高的、本质上新的水平转移这样一个过程的能力。这种例子在物理理论中是可以见到许多的：扩散现象便是一个古典的好例子。从扩散的宏观理论（拋物型偏微分方程）向更高的微观水平的理论（用独立的随机过程来描述溶液中粒子随机运动的统计力学）转移，从后者出发运用大数定律，可导出把握前者的微分方程， Kolmogorov对此种情形作了更加详细具体的说明。
同物理学相比，在生物学中数学更处于从属地位。在经济学和人文科学中的，这种情况就更加突出了，在生物学和杜会科学中数学方法的应用主要是以控制论的形式进行的。在这些学科中，数学的重要性以辅助科学──数理统计学的形式保留几分，但在社会现象的精确分析中，各个历史阶段中的本质性差异的侧面是占主导地位的，因而数学方法常常要靠边站。
数学与技术、算术、初等几何的原理，正像古代数学史所表明的那样，是从日常生活的需要中产生的。其后的新的数学方法或思想也是受到天文学、力学、物理学等满足实际需要的学科的影响而产生的，但是数学与技术（工程学）的直接联系至今常常是通过已有的数学理论在技术中的应用这样一个形式来实现的。当然还须指出，根据技术上的要求而直接产生新数学的一般理论这种例子也是有的〔例如，最小二乘法（测地），操作数法（电气工程）。作为概率论的新分支的信息论（通信工程），数理逻辑学的新分支，微分方程的近似解法，数值解法等〕。
高度的数学理论使得计算机科学的方法急速地发展起来。而计算机科学在解决原子能利用、宇宙开发中的问题等大量的实际问题时扮演了主要的角色。
Kolmogorov 在后面的数学史的叙述中也总是注重数学与其它诸学科的关联，同时也高度评价了由于数学内部的要求而推动的纯数学的发展。例如，在实际问题的应用这方面，古代希腊要落后于巴比伦，然而在数学的理论方面，希腊远远领先于巴比伦。他尤其赞颂了“存在无限多个素数”、“等腰直角三角形的斜边与另一边之间不存在公约数”等伟大发现。按着他详细说明了实际主义的巴比伦数学与理想主义的希腊数学是如何经过中世纪的阿拉伯数学，发展至欧洲的近代数学的过程，非常有趣。我从这个历史中学到了许多史实。例如，我以前知道变换群这个概念是在18世纪后半叶至19世纪初，由 Lagrange（分析）、 Galois（方程式论）等有效地使用了的。但我还想知道现在大学里讲授的（抽象）群的定义到底是由谁给出的。根据 Kolmogorov 的数学史，这个定义是由 A. Cayley 在19世纪中叶所给出的。
总之，Kolmogorov 的数学观是由他的数学上的独创性，对于数学应用所抱有的激情及对于数学发展的历史所具有的洞察。这几个方面所组成的，难以用一言来概之。如果一定要用一句话来总结，也许可以这样说：
Kolmogorov把数学看成为可以无限制地成长的“生物体”。