数学之美：为什么斜切圆锥可以得到一个椭圆
数学之美：为什么斜切圆锥可以得到一个椭圆
斜切圆锥为什么可以得到一个椭圆？这个问题看似简单，却蕴含着深刻的几何原理。本文将通过直观的图示和严谨的证明，为你揭示这一数学之美的奥秘。
椭圆的定义：平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点。
椭圆的另外两个定义
说到椭圆，很多人最先想到的是：一个被拉伸的圆叫做椭圆
另外一种关于椭圆的定义是：
斜切一个圆锥，且切的角度小于圆锥的斜面角度，圆锥面和截面相交所得到的曲线就是椭圆
为什么斜切圆锥可以得到一个椭圆
我们先说说为什么第二种定义方式和椭圆的标准定义是等价的
想证明这两种定义等价，我们要证明的是：在切面上一定能找到两个点，它们到曲线上任意一点的距离之和不变
这里展示在Paul Lockhart所著的《度量》一书中的一种证法
首先，在切面上下引入一个球体，使它们与圆锥面相切于两个圆，并各与切面切于一点
如下图：
看到这里，如果你有思路了，先不要往下翻，可以自己先想一想
一个合理的猜测是，这两个切点就是它的焦点
是这样吗？
是的
我们知道，圆锥的所有母线都相等
由此易得，相切所得的两个圆在圆锥的母线截得的线段（即上图中的白线）都相等
那这两个切点到曲线上的点的距离与白线的长度有什么关系呢
我们知道：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等
初三教材上的证明方法是可以直接用在球体上的，这个插图不太好画，证明过程很简单，这里就不写出来了
由此，我们知道，上图中，相同颜色的线段相等。
所以，两个切点到曲线上任意一点的距离之和等于两个圆在圆锥的母线上截得的线段的长度，而线段的长度都相等
因此，所截得的曲线就是椭圆，其焦点为两个球与切面的切点，两焦点到椭圆上任意点的距离等于两圆之间的距离不变
同理可证，斜切圆柱体也可以得到一个椭圆
这样截得的椭圆又可以看作一个圆(圆柱截面)在平面上的平行投影，其投影线与圆垂直，而不与投影面垂直
这就是为什么很多人对椭圆的印象是个被拉伸过的圆
事实上，关于同一事物的定义可以有很多种。关键在于证明它们之间是等价的，即证明这些定义所定义出来的东西都拥有相同的性质
本文原文来自夸克欧氏几何