反函数与原函数的关系是什么

反函数与原函数的关系是什么

引用

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在数学领域，反函数与原函数是一对重要的概念，它们之间存在着密切的联系。本文将从定义出发，详细阐述反函数与原函数的关系，并探讨反函数的主要性质。

反函数与原函数的关系

原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f（x），如果存在可导函数F（x），使得在该区间内的任一点都有dF（x）=f（x）dx，则在该区间内就称函数F（x）为函数f（x）的原函数。例如，sinx是cosx的原函数。

若函数f（x）在某区间上连续，则f（x）在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。函数族F（x）+C（C为任一个常数）中的任一个函数一定是f（x）的原函数。故若函数f（x）有原函数，那么其原函数为无穷多个。

反函数一般来说，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，若找得到一个函数g（y）在每一处g（y）都等于x，这样的函数x=g（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f^-1（x）。反函数y=f^-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f（y）或者y=f^-1（x）。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标“？1”指的是函数幂，但不是指数幂。

反函数的性质

1. 函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。
2. 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
3. 大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
4. 一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。
5. 严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。
6. 反函数是相互的且具有唯一性。
7. 定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。
8. 反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y)，y∈I }内也可导。
9. y=x的反函数是它本身。