问小白 wenxiaobai
资讯
历史
科技
环境与自然
成长
游戏
财经
文学与艺术
美食
健康
家居
文化
情感
汽车
三农
军事
旅行
运动
教育
生活
星座命理

过直线外一点可做几条平行线?欧氏、罗氏、黎曼几何的区别和应用

创作时间:
作者:
@小白创作中心

过直线外一点可做几条平行线?欧氏、罗氏、黎曼几何的区别和应用

引用
网易
1.
https://www.163.com/dy/article/JKDFJ46D0556BBAU.html

几何学是数学的重要分支,包括欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何三大类。其中,罗氏几何和黎曼几何统称为非欧几何。这三种几何学在公理体系、空间曲面、平行线定义、三角形内角和以及距离计算方式等方面存在显著差异,并在物理学、量子力学、宇宙学等领域有着广泛的应用。

欧氏几何:平面几何的基石

欧氏几何,即欧几里得几何,是我们中学阶段学习的基础几何学知识。其五大公理构成了整个几何学体系的基础:

  1. 任意两个点可以通过一条直线连接;
  2. 任意线段能无限延伸成一条直线;
  3. 给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆;
  4. 所有直角都相等;
  5. 若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。


欧几里得(公元前330~公元前275),古希腊伟大的数学家

基于这些公理,欧几里得在《几何原本》中构建了完整的几何学体系,内容涉及平面几何和立体几何的各个方面,包括点、线、面、角度等基本概念和关系,圆的定义及其性质,相似三角形和多边形的性质,以及球、圆柱、圆锥等立体图形的表面积和体积的求解等。

在此基础上,发展出了四种坐标系:

  1. 笛卡尔坐标系:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,通过X和Y坐标值即可确定一个点的位置,也可以用X、Y、Z轴组成空间坐标系。

  1. 极坐标系:极坐标,是用于平面中定位点的系统,它以一个固定点O(原点)和一条从原点发出的射线(通常是正x轴)作为参考。坐标用(r,θ)表示,其中r是原点到任意点P的距离,θ是线段OP与轴线之间的夹角。

  2. 圆柱坐标系:圆柱坐标系是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z-轴的延伸。添加的第三个坐标专门用来表示 P 点离 xy-平面的高低。径向距离、方位角、高度,分别标记为ρ,φ,z。

  3. 球坐标系:球面坐标系是表示三维空间中某一点的另一种方式。它也要求三个数值,其中两个是角度,第三个是距离。与笛卡尔坐标系换算关系为X=rsinφcosθ,Y=rsinφsinθ,Z=rcosφ。

罗氏几何:双曲几何的创新

罗氏几何,也称双曲几何,是一种独立于欧氏几何的公理系统,其空间曲面是双曲面,类似马鞍的形状。双曲面的方程通常采用下列形式:

Ax² + By² - Cz² = D

其中,A、B、C、D是常数。当A、B、C中至少有两个正号时,该方程描述的曲面是一类双曲面。如果A、B、C中都是正号,称为双叶双曲面;如果A、B、C中只有一个正号,称为单叶双曲面;如果A、B、C中全是负号,称为超双曲面。双曲面具有一些独特的性质,如其具有两个相互独立的拱形。

如果将双曲面投影到XY平面,则得到标准双曲线:

x²/a² - y²/b²= 1 (a>0,b>0)

黎曼几何:椭圆几何的拓展

黎曼几何是非欧几何的一种,亦称“椭圆几何”,其空间曲面是椭圆球面。黎曼几何发展了空间的概念,提出了n维流形概念,认为几何学中的研究对象为“多重广延量”,空间中的点可以用n个实数(x1, x2, …, xn)作为坐标进行表示。黎曼几何是一种研究曲线、曲面与曲率的几何学。

黎曼几何中最重要的概念是曲率的计算。曲率是描述曲线、曲面的弯曲程度的量。在二维曲面上,曲率可以通过计算曲线的切向量和法向量之间的夹角来得到。对于一个给定的曲线,其曲率可以通过以下公式计算:

K(s) = |dT/ds| / |ds/ds|

其中,K(s)表示曲线在参数s处的曲率,dT/ds表示曲线的切向量沿s方向的导数,ds/ds表示曲线的弧长在s方向的导数。

对于三维曲面,曲率的计算可以通过计算曲面上两个相互垂直的方向上的曲率来得到曲面的曲率。具体而言,曲面的主曲率可以通过以下公式计算:

k1 = (E * G - F^2) / (E + G ± √((E - G)^2 + 4F^2))
k2 = (E * G - F^2) / (E + G ∓ √((E - G)^2 + 4F^2))

其中,E、F、G分别是曲面的第一、第二、第三基本形式的系数。k1和k2分别表示曲面的两个主曲率。

黎曼几何中还涉及度量张量、克氏符号和曲率张量的计算,这些公式是黎曼几何的基础,用于描述非欧几何空间和广义相对论中的时空弯曲。

三种几何学的区别

  1. 曲率对比:欧氏几何是曲率恒等于零的平面几何,罗氏几何是曲率为负常数的曲面几何,黎曼几何是曲率为正常数的曲面几何。图中可以看出以上三种几何空间分别为平面、凹面、凸面。

  2. 平行线定义:过直线外一点,可以做几条直线与该直线平行?欧氏几何认为是一条,罗氏几何认为是至少两条甚至无数条,黎曼几何认为是没有。

  3. 三角形内角和:黎曼几何认为大于180度,欧氏几何认为等于180度,罗氏几何认为小于180度。

  4. 距离定义:只有欧氏几何计算的是最短直线距离。在欧几里得几何中,曲面上两个相邻点之间的距离,由以下形式公式得其距离为ds²=Adx²+Bdxdy+Cdy²。罗氏几何计算两点间的距离是双曲表面上的曲线距离,黎曼几何计算两点间的距离是伪球表面的曲线距离。

  5. 数学基础原理:黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础,建立曲线坐标系中的微分方法。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系。

  6. 应用范围:欧氏几何适应范围最为广泛,罗氏几何可以用于描述宇宙中的量子世界,黎曼几何可以用于描述宇宙时空和天体的运动。

应用领域

  • 欧氏几何:适用于日常生活中的宏观物体和运动,是牛顿经典力学、薛定谔方程、麦克斯韦方程组、狭义相对论、弦理论等数学模型的基础。

  • 罗氏几何:在量子力学中,罗巴切夫斯基的双曲几何学模型可以用于描述粒子在双曲线空间中的运动。在宇宙空间中或原子核世界,罗氏几何更符合客观实际,如量子力学的迪拉克方程、量子电动力学、量子统一场论等。

  • 黎曼几何:在地球表面研究航海、航空航天、宇宙研究等实际问题中,黎曼几何更准确一些。黎曼几何在物理上非常有用,因为光在空间上就是沿着曲线跑的,并非是直线,我们生活在地球上,因此我们的空间也是曲面,而不是平面。黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论准备了数学基础,广义相对论、黑洞理论、虫洞理论、宇宙大爆炸理论等都是以黎曼几何来建立数学模型的。

三种几何模型从左至右分别是罗氏、欧氏、黎曼

结语

欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何分别代表了平直时空、负曲率时空和正曲率时空的数学描述。它们在物理学、量子力学、宇宙学等领域的应用展示了数学作为工具的重要性。虽然数学作为一种最重要的工具,是来为其它自然学科服务的,但其内在的逻辑美和抽象性也体现了人类思维的深度和广度。

© 2023 北京元石科技有限公司 ◎ 京公网安备 11010802042949号