双叶双曲面

双叶双曲面

双叶双曲面是数学中一种重要的二次曲面，其独特的几何性质和方程特征在多个领域都有广泛的应用。本文将详细介绍双叶双曲面的标准方程、性质、方程特点以及旋转双叶双曲面等内容。

标准方程

双叶双曲面的标准方程是
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1
$$

其中，$a, b, c > 0$ 是该双叶双曲面的轴参数。

性质

以下均在双叶双曲面的标准方程中讨论。

• 对称性：双叶双曲面是中心二次曲面，它的对称中心是原点$(0, 0, 0)^\text{T}$，对称直线是三个坐标轴，对称平面是三个坐标平面。

• 有界性：$|z| \geqslant c$。

• 截面：$z = h~(h \leqslant c)$截双叶双曲面所得的曲线是椭圆或一点，平行于$yOz, xOz$平面截双叶双曲面所得的曲线是双曲线。

方程特点

二次曲面的一般方程是
$$
F(x,y,z)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_1x+2a_2y+2a_3z+a_0=0
$$

其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。 当它是双叶双曲面时有$I_2 \leqslant 0,\quad I_4 < 0.$

• 特征根：双叶双曲面的特征根的符号差为-1，标准方程下的特征根是$\dfrac{1}{a^2}, -\dfrac{1}{b^2}, -\dfrac{1}{c^2}$；

• 主方向：双叶双曲面的三个主方向都是非奇异的，标准方程下的主方向是三个坐标轴；

• 渐近方向：双叶双曲面的渐近方向位于一个二次锥面上，这个锥面称为该双叶双曲面的渐近锥面；

• 中心：$r = R = 3$，双叶双曲面是中心二次曲面，标准方程下的中心是原点；

• 主径面：双叶双曲面有三个主径面，标准方程下的主径面是三个坐标平面。

旋转双叶双曲面

旋转双叶双曲面是一种旋转面，也是双叶双曲面，它是由双曲线绕$x$轴旋转所得的，标准方程是
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2 + z^2}{b^2} = 1
$$

空间中到两定点的距离之差相等的点的轨迹是旋转双叶双曲面，实际上，如果设两定点为$(a, 0, 0)^\text{T}$和$(-a, 0, 0)^\text{T}$，距离之差为$2b < 2a$，那么轨迹方程是
$$
\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2 + z^2}{a^2} = 1
$$