【数理化自学丛书】正多面体的性质与计算
【数理化自学丛书】正多面体的性质与计算
本文是一篇关于正多面体的数学科普文章，详细介绍了正多面体的定义、分类、作法、二面角计算以及体积计算等内容。文章内容深入浅出，适合对数学感兴趣的读者阅读。
【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。
【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第二章多面体——棱柱、棱锥和棱台的体积
§2-17正多面体
【01】如果一个多面体的各个面的图形都是全等的正多边形，而各个多面角都是全等的正多面角，这种多面体称为正多面体。
【02】因为正多面角的所有面角相等，故而所有二面角也相等的；又因为正多面体各面的多边形都是全等的正多边形，因此它的所有的棱长都相等的。
【03】如图2·82(1)是一个正四面体，它的每一个面都是正三角形，每个多面角都是全等的三面角，它有 4 个顶点，有 6 条棱。
【04】如图2·82(2)是一个正八面体，它的每一个面都是正三角形，每个多面角都是全等的四面角，它有 6 个顶点，有 12 条棱。
【05】如图2·82(3)是一个正二十面体，它的每一个面都是正三角形，每个多面角都是全等的正五面角，它有 12 个顶点，有 30 条棱。
【06】观察这三个正多面体，可见它们的每一个面都是正三角形。如果以正三角形一内角（即 60°）为面角，可以组成的多面角仅有三面角、四面角和五面角这三种，因为六个面角便 60°×6＝360°，已不符合多面角关于面角和的性质。因此，各面是正三角形的正多面体只有上述三种。
【07】如图2·83是一个正六面体（又称正方体或立方体），它的每一个面都是正方形，每一多面角都是全等的直三面角，它有 8 个顶点，有 12 条棱。易见不存在有直四面角（因为 90°×4＝360°），因此各面是正方形的正多面体只有这一种。
【08】如图2·84是一个正十二面体，它的每一个面都是正五边形，每个多面角都是全等的三面角，它有 20 个顶点，有 30 条棱。正五边形的每一内角为 108°，用 108° 为面角不可能组成四面角，因为 108°×4＝432° 已超过了 360°，因此各个面都是正五边形的正多面体只有这一种。
【09】此外，有没有以每个面都是正六边形（或者多于六边的正多边形）的正多面体？我们的回答是否定的。因为正六边形的每一内角已等于 120°（如果 n＞6，则每一内角要大于 120°），3 个 120° 的和就等于 360°，已不能组成一个三面角；如果 n＞6 的正多边形的内角作为面角就显然不能组成一个三面角了，因此作为正多面体的每个面上的图形，只能是正三角形、正方形和正五边形这三种。所以，正多面体仅有上面所述的五种。
正多面体的作法
【10】根据上面的叙述可知，可能存在的正多面体只有五种，而且，我们能够在空间中用平面把这五种正多面体都作出来。例如，在平面 M 内作正方形，过这正方形的各边分别作垂直于平面 M 的平面，这样的平面一共可以作出四个；然后再作与平面 M 的距离等于正方形边长的平行平面 Q，这样六个平面就构成了一个正六面体。
【11】作出了正六面体，其余的四种正多面体随之可以作出。例如，在图2·85中，作出正方体各个面内的对角线，多面体B₁—ACD₁即为正四面体。又如，在图2·86中，连接各个面上的正方形的中心，就可以作出正八面体。读者不难证明这些作法的正确性。
【12】至于正十二面体和正二十面体的作图，由于需要比较繁琐的论证这里将其省略了。
【13】读者们可以按照图2·87的图形放大，画到较厚的纸板上剪下，再依虚线折起来，用胶水粘好，便成为五种正多面体的模型。
正多面体的二面角
【14】由于每一个正多面体的所有二面角是全等的，所以只要计算出它的一个二面角即可。现在以正二十面体为例，来说明如何计算出它的二面角。
【15】图2·88是正二十面体中相邻的二个平面 APB 和 ABQ 。设这个正二十面体的棱长为 a，取棱 AB 的中点 M，连结 PM、QM，则 PM⊥AB，QM⊥AB 。所以 ∠PMQ 是二面角 AB 的平面角。
【16】连结 PQ，PQ 是对角面正五边形 PBQCD 的对角线。平面几何中边长为 a 的正五边形的对角线长
。自点 M 在平面 MPQ 内作 MH⊥PQ，并设 ∠QMH＝φ，则在直角三角形 MHQ 中，
【17】∴ φ＝69°6' 。
【18】∴ ∠PMQ＝138°12' 。
【19】即正二十面体的二面角为 138°12' 。
正多面体的体积
【20】棱长为 a 的正六面体（即正方体）的体积为 a³，至于正四面体、正八面体，可以根据棱锥求体积的公式分别求出它们的体积。下面以正十二面体为例，说明如何计算棱长为 a 的正十二面体的体积。
【21】图2·89是一个正十二面体（图中仅仅作出了它相邻的两个平面），自它的一个面 P 的中心 M，作这个平面 P 的垂线与二面角 AB 的分角面相交于点 O 。自点 O 作 OM₁ 垂直于平面 ABCDE，自 M 在平面 P 内作 MH⊥AB，在平面 ABCDE 内连结 M₁H，那么 M₁H⊥AB 。
【22】连结 OH，在直角三角形 HMO 及 HM₁O 中，
【23】HO＝HO，∠MHO＝∠M₁HO，
【24】∴ △HOM ≌ △HOM₁，
【25】∴ OM＝OM₁ 及 MH＝M₁H，
【26】即 M₁ 为正五边形 ABCDE 的中心。以同样的方法可以得出自点 O 到正十二面体各个面内的垂线是相等的，而且垂足都分别是各个面内正五边形的中心。
【27】这样，就可将这个正十二面体分割成十二个正五棱锥，它们的底是边长为 a 的正五边形，它们的高都相等，因此只要计算出点 O 到一个面的距离 OM，那么这个正十二面体的体积就可以求出了。
【28】在直角三角形 OMH中，MH 为边长为 a 的正五边形的内切圆半径，利用平面几何知识不难求出；∠MHO 为正十二面体二面角的平面角的一半，由上段可知此平面角的大小也是可以求得的。所以 OM 的长是可以计算出来的。
例1.分别以正四面体的高和棱为一边作出两个正方形，求证这两个正方形面积的比为 2:3 。
【证】
【29】设正四面体 ABCD 的棱长为 a，AO 垂直平面 BCD（图2·90）。
【30】在直角三角形 ABO 中，
。
【31】以正四面体的高 AO 为一边的正方形面积为
；
【32】以正四面体棱长为一边的正方形面积＝a² 。
【33】所以这两个正方形面积的比为 2：3 。
例2.正八面体的棱长为 a，求它的两个相对平面间的距离。
【解】
【34】在正八面体中，△ACD 及 △BEF 为相对的两个平面（图2·91）。
【35】在平面 BCDE 内，自对角线的交点 O 作 OM⊥CD，连结 AM 。由三垂线定理知 AM⊥CD 。
【36】因 AO⊥CD，AM⊥CD，所以平面 ACD 与平面 AOM 互相垂直，AM 为它们的交线。自点 O 在 △AOM 平面内作 OP⊥AM，那么 OP 垂直平面 ACD，所以 OP 是点 O 到平面 ACD 的距离，也就是两个相对平面 ACD 与 BEF 距离的一半。
【37】在直角 △AOM 中，OM＝a／2，AM＝a√3 ／2，
【38】所以
。
【39】在 △AOM 中，OP·AM＝AO·OM＝2S△AOM，
【40】∴
。
【41】因此知这两个相对的平面的距离为 a√6／3 。
答：棱长为 a 的正八面体相对两个平面间的距离为 a√6／3 。
习题2-17
1、求正四面体的二面角。
2、求正八面体的二面角。
3、两个棱长相等的正四面体，将它们的一个面重合，所得到的多面体为什么不是正多面体？[提示：研究它的每一个多面角是不是都全等 ]【因为正多面体的多面角都是相等的正多面角，而重合后的那几个多面角是四面角，不等于原正四面体的三面角。所以合成的多面体不是正多面体】
4、求棱长为 a 的正八面体中相邻两个面的中心的距离。[提示：先求出正八面体的二面角 ]
5、求棱长为 a 的正八面体对角线的长。
6、求立方体和以这个立方体各面的中心为顶点的正八面体的体积的比。【立方体的体积和这立方体各面中心为顶点的正八面体的体积之比为6：1 】
7、求棱长为 a 的正八面体的体积。[提示：将正八面体分成两个体积相等的正四棱锥 ]
8、内接于正八面体的立方体，它的各个顶点在正八面体棱上；已知正八面体棱长为 a，求这个立方体的棱长。
9、求证正四面体的二面角与正八面体的二面角之间，互为补角。[提示：本题可以通过分别求出正四面体和正八面体的两面角而得到证明。也可以采用另一种证法：过正八面体 ABCDEF 的一顶点 A，作 AG
BC 。易见 △ABC 和 △AGC 共面，只须证明拼上去多面体 GACD 是正四面体就可以了 ]【由本习题的1、2两题的答案可知，正四面体的二面角和正八面体的二面角是互补的，因为它们的和等于 180°，即 70°30'+109°30'=180°】
