数列极限证明大题解题方法：单调有界准则详解

数列极限证明大题解题方法：单调有界准则详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_62613321/article/details/139911861

数列极限的证明是数学分析中的一个重要内容，其中单调有界准则是最常用的证明方法之一。本文将系统地介绍如何使用单调有界准则证明数列极限的存在，并求出极限值。通过理论讲解和真题实战相结合的方式，帮助读者掌握这一重要知识点。

数列极限证明大题

数列极限的证明大题的目标是，证明数列极限存在且求此极限。核心方法是：单调有界准则，如有上界+数列单增，则可说明数列极限。

1.单调有界准则

在利用单调有界准则的过程中，我们先要证明有界性，再去证明单调性。因为，有界性有助于我们判断单调性。

1.1 证有界性和单调性

有界性的证明方法一般有两种+一种简单整理：

1. 数学归纳法
2. 利用不等式
3. 通过简单的整理分子分母，就可以得到界

单调性的证明方法一般有三个方面

1. 给出首项，利用导数工具，证明数列单调性
2. 未给出首项，则构造xn+1-xn或xn+1/xn的形式，尝试分母有理化等方法，证明>0或<0
3. 数学归纳法

使用导数来证明数列单调性的说明：
函数的导数>0,则说明数列单调。至于单增还是单减，要通过分析x1和x2之间的关系，x1>x2，就是单减，反之是单增。
函数的导数<0，则无法说明数列单调。采用别的方法-压缩映射法。
一般来说，如果首项已知，选取f(x)作为函数求导，若未知，选取xn+!-xn作为求导对象。

1.2真题实战

( 1996 ) 设 x 1 = 10 ， x n + 1 = 6 + x n ( n = 1 , 2 , . . . ) ，试证数列 { x n } 极限存在，并求此极限 \left(1996\right)设x_{1} = 10，x_{n + 1} = \sqrt{6 + x_{n}}\left(n = 1,2,...\right)，试证数列\left{x_{n}\right}极限存在，并求此极限(1996)设x1 =10，xn+1 =6+xn (n=1,2,...)，试证数列{xn }极限存在，并求此极限
1.在做此类题目的第一步是预求极限，先把答案要求的极限求出来，然后就可以用来提前把握证明有界性
2.证明有界性
3.证明单调性
下结论，求极限（把预求的结果抄一遍）
( 2002 ) 设 0 < x 1 < 3 ， x n + 1 = x n ( 3 − x n ) ( n = 1 , 2 , . . . ) ，试证数列 { x n } 极限存在，并求此极限 \left(2002\right)设0 < x_{1} < 3，x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}\left(3 - x_{n}\right)}\left(n = 1,2,...\right)，试证数列\left{x_{n}\right}极限存在，并求此极限(2002)设0<x1 <3，xn+1 =xn (3−xn ) (n=1,2,...)，试证数列{xn }极限存在，并求此极限

1.2.1 证明有界性中常用到的不等式

1. a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}ab ≤2a+b
2. a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}2a+b ≤2a2+b2
3. e x ≥ x + 1 e^{x} \geq x + 1ex≥x+1(对于任意x xxx)
4. x − 1 ≥ ln ⁡ x x - 1 \geq \ln xx−1≥lnx(对于x > 0 x > 0x>0)

三角函数相关：

1. sin ⁡ x < x \sin x < xsinx<x(对于x > 0 x > 0x>0)
2. sin ⁡ x < x < tan ⁡ x \sin x < x < \tan xsinx<x<tanx(对于0 < x < π 2 0 < x < \frac{\pi}{2}0<x<2π )
3. 当0 < x < π 4 0 < x < \frac{\pi}{4}0<x<4π 时，x < tan ⁡ x < 4 π x x < \tan x < \frac{4}{\pi}xx<tanx<π4 x
4. 当0 < x < π 2 0 < x < \frac{\pi}{2}0<x<2π 时，sin ⁡ x > 2 π x \sin x > \frac{2}{\pi}xsinx>π2 x

数列极限证明大题的系统解决(上篇)

上帝的视角，自然的思路。
证明数列极限收敛：单调有界准则就是数列递增有上界，数列递减有下界这两方面

1.入手第一步-预求收敛值

在拿到一道证明数列界限收敛，要先预先求出xn的收敛值。
问题1:为什么我们要先证明数列收敛，才能求极限值？
因为，假如一个振荡的数列，1，2，1，2这种，它不收敛但是能求出极限值
问题2:为什么要预先求出xn的收敛值？
原因如下：
1.明确界限是什么？
2.通过首项，明确我们要证明的单增还是单减？
如何求这个收敛值？以例1为例
根据xn+1的递推式，写出
A = 2 + A , A 2 = 2 + A , 求出 A = 2 或 A = − 1 又因为 x 1 = 2 > 0 ， A 应为 2 A = \sqrt{2 + A},A^{2} = 2 + A,求出A = 2或A = - 1\又因为x_{1} = \sqrt{2} > 0，A应为2A=2+A ,A2=2+A,求出A=2或A=−1又因为x1 =2 >0，A应为2

例 1 ： x 1 = 2 , x n + 1 = 2 + x n ，证明 { x n } 收敛，并求极限值   例1：x_{1} = \sqrt{2},x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_{n}}，证明\left{x_{n}\right}收敛，并求极限值:例1：x1 =2 ,xn+1 =2+xn ，证明{xn }收敛，并求极限值

2.入手第二步-先证明有界，后证明单调

为什么先证明有界？因为在实际问题中，我们需要用到有界的结论，才能很好的证明出单调性。

3.开始证明

通过做题不断掌握证明方法
例1:证明有界时，用到了数学归纳法,证明单调时，列出了两种方法，第一种仍是数学归纳法，第二种是做差，将问题转化为，由第一问中证出的有界，把它看作成一个定义域，求做差之后的式子的值域问题。
在实际做题的过程中，常常用第二种方法证明单调
例2:
在证明有界的过程中，我们还可以使用一些不等式
例 1 ： x 1 = 2 , x n + 1 = 2 + x n ，证明 { x n } 收敛，并求极限值   例1：x_{1} = \sqrt{2},x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_{n}}，证明\left{x_{n}\right}收敛，并求极限值:例1：x1 =2 ,xn+1 =2+xn ，证明{xn }收敛，并求极限值

类题 1 ： ( 1996 ) x 1 = 10 , x n + 1 = 6 + x n ，证明 { x n } 收敛，并求极限值   类题1：\left(1996\right)x_{1} = 10,x_{n + 1} = \sqrt{6 + x_{n}}，证明\left{x_{n}\right}收敛，并求极限值:类题1：(1996)x1 =10,xn+1 =6+xn ，证明{xn }收敛，并求极限值

例2:
例3:
类题3:
例4:

数列极限证明大题的系统解决(下篇)

对于an+1=f(an)型的数列，an和an+1之间的关系完全是由f(x)决定，那么函数f(x)的有界性是否会影响到数列{an}的有界性？
答案是显而易见的，结论如下，需要记牢。
例题1: 设a0=25，an=arctanan-1（n=1,2,…）,证明{an}收敛，并求极限
因为artanx有界，则{an}有界
又因为artanx单调递增，{an}单调
综上{an}收敛，A=arctanA，A=0
例题2: