从点乘角度理解傅里叶变换和小波变换
从点乘角度理解傅里叶变换和小波变换
傅里叶变换和小波变换是信号处理和机器学习中的重要工具，但它们的数学模型往往让人望而生畏。本文将通过点乘的角度，为你提供一个直观且易于理解的视角，帮助你更好地掌握这两个变换的本质。
引言
傅里叶变换和小波变换都是机器学习中非常常用的工具，在特征提取、信号处理方面有着非常重要的作用。可是两者的数学模型都比较难理解和记忆，这篇文章通过点乘的角度去理解傅里叶变换，再通过傅里叶变换的局限性引出小波变换。
理论部分
在我们平时的数学学习中，点乘是非常重要且基本的数学概念，我们先从向量的点乘说起。
向量的点乘
向量的点乘，也叫做向量的內积、数量积。对两个向量执行点乘运算，就是对两个向量对应位一一相乘之后求和的操作：
相似度
对于事物的相似度，量化衡量的方法有很多种，比如动态弯曲距离（衡量时间序列相似度常见）、余弦相似度等等。本文主要介绍点乘中衡量相似度的方法：明显地，点乘值越大，相似度越大：
我们要比较两个向量的相似度我们必须先明白：向量是矢量，具有大小和方向。那么我们在衡量
两个向量的相似程度时，大小和方向都是必须要考虑的要素，指标。那么，我们可以看看以下情况：
当两个向量的夹角为0°时，它们显然是最相似的。因为它们方向一致，模长已是定值，那么相对于模长不同或相同的两个向量来说，它们在方向相同时，相似度肯定是最高的。结合前面所列：点乘值越大，相似度越高。
观察者
为了更好地理解傅里叶变换和小波变换，接下来我们引入一个概念叫观察者。观察者的数据种类有很多，他主要是一种观察角度的量化工具。比如平面坐标系里两个轴上的单位向量，各种连续函数、甚至是复数函数等等。举个例子：
在上述的三维空间中，这个三维向量具有一定的模长和具体的方向，而图中三个红色的平行于坐标轴的向量就可以称为观察者。比如说：向量a=(1,2,3),那么它也可以写成三个观察者的观察结果的值：a=i+2j+3k。其中i,j,k分别为x轴，y轴，z轴的单位向量。值得注意的是：观察者的大小最好是一致的，最好是为单位长度、大小。因为这样方便后续数据处理。从上面所述的这些东西，我们可以看出：点乘是观察者了解未知事物的手段。
向量点乘的延伸
对于观察者是连续函数，目标对象是连续函数的点乘，其形式可以从向量点乘推广而得到。首先我们把向量的分量看成是一个个y轴上的值，分别对应x轴上的某些值：
下图是引申思想的可视化：
从上图中，我们可以看到橙色的离散数据点如果数量越来越多，便在超过一定数量后变成了蓝色的连续函数。通过累积求和的思想我们便能得到前面的思想。
从点乘角度理解傅里叶变换
我们在看了前面几个小节的内容后，我们来重新看一下傅里叶变换的相关定义：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。那么从这段定义里面我们就能看出正弦函数、余弦函数等可以看做是目标对象（要进行傅里叶变换的对象）的观察者：
从傅里叶变换到小波变换
傅里叶变换把信号从时域转换到频域，使得我们只能获得频域的信息，而无法获得时域的信息，这就导致我们在将信号的局部和观察者进行匹配时出现困难，因为我们没有时域的信息，比如说我要比较一段信号中的某个部分和观察者是否相似，我们作为科研工作者，我们想知道这段信号出现在哪，可我们通过傅里叶变换无法办到，因为变换后我们只有频域的信息，而没有时域的信息，因此，我们引入小波变换来加强对信号局部的识别能力。首先，何为小波？小波是指：一系列在时间轴上做了局部化的观察者。
通过小波变换我们便能同时得到时间和频率的信息：
小波（函数）是非常庞大的家族，如：morlet小波、哈尔小波等等。
总结
对于我们平时接触到的傅里叶变换和小波变换，不少人都会因为其复杂的公式而难以记忆、理解、使用，可如果我们从连续函数点乘的角度去理解，就很容易掌握并使用它们了。