如何利用初等数学执果索因研究狗追人问题

如何利用初等数学执果索因研究狗追人问题

萨塔妮亚小姐的菠萝包经常被狗夺取。狗并不会数学，无法分析出最快追上萨塔妮亚的方法。但是，狗知道两点之间线段最短。为此，对每一个时刻的狗，它的速度会始终朝向萨塔妮亚。这样的狗，很符合我们对狗追人问题的研究。

在这篇文章中，我们会介绍狗追人问题，并着重于对其中一个给出初等解法。这将为萨塔妮亚遇狗时的策略选择提供一定的理论支持。

狗追人问题，泛指一类追及问题，即：人以某种速率沿某种轨迹运动，狗同时以某种速率开始追赶，且狗时刻改变速度以保证速度方向始终指向人，进而引发出的一系列问题。

最容易想到的问题自然是求狗的运动轨迹。例如下题(虽不能称作狗追人，但核心类似)：甲乙丙在正三角形的三个顶点，甲追乙，乙追丙，丙追甲，且速率相同，求运动轨迹。

利用微积分容易求出，是形如r=ae^(bθ)的极坐标方程，即对数螺线。这个结果很好理解，因为对数螺线具有优美的自相似性质。这或许也是这类问题里最简洁的方程。

方程具体数值如图

现在考虑如下情况：狗在人东方1m处，人往北走，狗以相同速率追赶，求狗的轨迹。

以人的初始位置为原点建立直角坐标系，利用微积分同样不难解决。因为轨迹在(x₀，y₀)的切线方向即为速度方向，切线与y轴的的截距即为人的路程，也即狗的路程。因而可列方程：

这实际就是一个简单的二阶微分方程，再结合曲线过(1，0)以及在(1，0)的切线斜率为0，容易解出轨迹为：

长这样

这个轨迹方程没啥特色。而且对数的存在，也使其无法由初等数学求解。我在初三时解出了这个方程，然后却没有进一步思考。高一时见到很多钓鱼题，觉得有意思，也想出一道。于是联想到这个问题——它的题干如此简单，那能否也挖掘出一些形式简单的结论呢？

于是发现：两者距离趋于一个定值——0.5m

这在已经知道解析式的情况下，宛如瓮中捉鳖。距离为x₀(1+y'₀²)＝(x₀²+1)/2。随着x趋于0，距离自然趋于0.5。

但这样平凡的结果，如何找到初等解法呢？

事实上，涉及运动的问题，一定程度上都会牵涉到物理。尽管这个问题用不到任何物理定律，但物理思想仍是解题的关键。

既然求两者距离，我们应想到转换视角。考察人的视角，狗会怎样运动？只需把每个点往下平移当前的路程。在已知轨迹方程的情况下，可以得到人视角下的方程为：y=(x²-1)/2

这是一条可被研究的抛物线，并且应当敏锐地注意到原点恰为其焦点。这让我们意识到转换视角的方法是有戏的。

现在要从初等的角度去找出这条抛物线。从物理的角度，视角的变化会带来速度的变化，这提示我们应当先分解速度。否则，仅有位置的变化，不足以得到轨迹的性质。

在原视角下，不妨设运动速率恒为1(显然速率变化不影响轨迹形状)。对某个时刻，将狗的速度分解为vₓ＝sinθ，vᵧ＝cosθ。人狗连线为速度方向，则斜率为cotθ。

在新视角下，由于相对位置没变，连线斜率仍为cotθ。而狗在y方向的速度应减去人的速度。故此处切线斜率为(cosθ-1)/sinθ=-tanθ/2。

于是，很奇妙地，我们已经得到了刻画这个轨迹的重要性质：曲线上一点与原点连线和x轴所形成的夹角，该点切线和x轴形成夹角的两倍，两者互余。

如图

结合我们的目标——抛物线，自然再如下标注

从而，可以直接说明了：从原点射出的光线，经曲线反射后与y轴平行。因此，该曲线是以原点为焦点，以y轴为对称轴的抛物线。又已知其过(1，0)，便能得到解析式。自然，该抛物线上离原点最近的点是下顶点，距离即0.5。

当然，还剩一个小问题，即说明无法达到0.5，也即狗无法到达人的正下方。这其实比较显然，有多种方法均可严格论证该点，读者不妨自行探讨。

至此，问题结束。

虽然初等数学无法完全解决解析式，但仍能大幅减少计算。事实上，在上述过程中可以看出，抛物线的解析式除以x，再积分，就得到了原解析式。

此外，若狗的速率恒为人的k倍，当k＜1，距离存在一个最小值，此后则单增；当k＞1，会在某个时刻相遇。我曾算过具体的表达式，但是忘却了，懒得再算一次。而且看样子也不是初等数学能得到的结果了。

假装学习的萨塔妮亚

萨塔妮亚小姐，如果你看到了这篇文章，而且你不能保证狗的速率跟你一致，最好自己动手算一算，这对你平时考试也有帮助。

本文原文来自B站