曼德博集合

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曼德博集合

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曼德博集合是一个在复数平面上展现出无限复杂边界的分形集合，其精美的图案和深刻的数学内涵使其成为数学可视化和数学美的经典案例。本文将从定义、历史和数学特性等方面，为您详细介绍这个令人着迷的数学对象。

曼德博集合

曼德博集合(/ˈmændəlbroʊt, -brɒt/) 是复数集。该集合最初由罗伯特 W. 布鲁克斯 (Robert W. Brooks) 和彼得马特尔斯基 (Peter Matelski) 于 1978 年定义和绘制，作为克莱因群研究的一部分。之后，1980 年，Benoit Mandelbrot 在位于纽约约克镇高地的 IBM 托马斯 J. 沃森研究中心工作时获得了该集合的高质量可视化。

曼德博集合的图像展示了一个精心制作的无限复杂的边界，随着放大倍数的增加，它逐渐显示出越来越精细的递归细节；从数学上讲，曼德博集合的边界是分形曲线。此递归细节的样式取决于正在检查的集合边界区域。曼德博集合图像可以通过对复数进行采样和测试来创建，对于每个采样点 c , {\displaystyle c,} 序列 f c ( 0 ) , f c ( f c ( 0 ) ) , … {\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc } 趋于无穷大。将 c {\displaystyle c} 的实部和虚部视为复平面上的图像坐标，然后可以根据序列 | 的时间间隔对像素进行着色。 fc ( 0 ) | , | fc ( fc ( 0 ) ) | , … {\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc } 越过任意选择的阈值（阈值必须至少为 2 ，因为 -2 是集合中幅度xxx的复数，否则阈值是任意的）。如果 c {\displaystyle c} 保持不变，而改变 z {\displaystyle z} 的初始值，则可以获得点 c {\displaystyle c} 对应的 Julia 集。

曼德博集合因其美学吸引力和应用简单规则而产生的复杂结构的例子而在数学之外流行起来。它是数学可视化、数学美和主题的最著名示例之一。

历史

曼德博集合起源于复动力学，这是20世纪初法国数学家Pierre Fatou和Gaston Julia最先研究的领域。1978 年，罗伯特·W·布鲁克斯 (Robert W. Brooks) 和彼得·马特尔斯基 (Peter Matelski) 在克莱因群研究中首次定义和绘制了这种分形。1980 年 3 月 1 日，Benoit Mandelbrot 在纽约约克敦高地的 IBM 托马斯 J. 沃森研究中心首次看到了该集合的可视化。

Mandelbrot 在 1980 年发表的一篇文章中研究了二次多项式的参数空间。曼德博集合的数学研究真正开始于数学家 Adrien Douady 和 John H. Hubbard (1985) 的工作，他们确立了曼德博集合的许多基本性质，并以曼德尔布罗特在分形几何方面的有影响力的工作命名该集合。

数学家 Heinz-Otto Peitgen 和 Peter Richter 因用照片、书籍（1986 年）和德国歌德学院的国际巡回展览（1985 年）推广这套作品而闻名。1985 年 8 月《科学美国人》的封面文章向广大读者介绍了计算曼德博集合的算法。封面由不来梅大学的 Peitgen、Richter 和 Saupe 创作。曼德博集在 20 世纪 80 年代中期作为计算机图形演示变得引人注目，当时个人计算机变得强大到足以以高分辨率绘制和显示布景。

Douady 和 Hubbard 的工作恰逢人们对复杂动力学和抽象数学的兴趣大幅增加，从那时起，对曼德博集合的研究一直是该领域的核心。从那时起，所有为理解这个集合做出贡献的人的详尽名单很长，但包括 Jean-Christophe Yoccoz、Mitsuhiro Shishikura、Curt McMullen、John Milnor 和 Mikhail Lyubich。