复指数信号：从欧拉公式到信号处理
复指数信号：从欧拉公式到信号处理
复指数信号是信号处理领域中的重要概念，它基于欧拉公式，将复数与旋转运动相结合，为频谱分析提供了简洁有力的工具。本文将从欧拉公式的几何解释出发，深入探讨复数、复信号的本质及其在信号处理中的应用。
欧拉公式与复数的几何解释
欧拉公式被誉为数学中最美的公式之一，其表达式为：
$$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$$
其中，$\cos\theta+j\sin\theta$是一个复数，实部为$\cos\theta$，虚部为$\sin\theta$。在复平面上，这个复数对应于单位圆上的一个点。根据欧拉公式，这个点可以用复指数$e^{j\theta}$表示，如图所示：
复数通常用复平面的向量来表示。引入向量以后，可以用向量的旋转来理解复数。复数与复指数$e^{j\theta}$相乘，相当于复数对应的向量旋转角度$\theta$：
在欧拉公式中，令$\theta=\frac{\pi}{2}$，得：
$$e^{j\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+j\sin\frac{\pi}{2}=j$$
即：$j=e^{j\frac{\pi}{2}}$
复数与$j$相乘，就是与复指数$e^{j\frac{\pi}{2}}$相乘，相当于复数对应的向量逆时针旋转90°。也就是说，复数与$j$相乘的过程，也就是向量旋转的过程，如图所示：
不能局限于小时候所学的虚数得平方等于-1，这种认知已经深入到自己的观念里，要从观念里认识到，虚数存在的意义，以及虚数在数学、物理上的意义。虚数，或者复数，代表了旋转。
复信号的理解
当$\theta$以角速度$\omega_0$随时间变化时，复指数$e^{j\theta}$就成了复指数信号。复指数信号的一般形式为：
$$s(t)=Ae^{j(\omega_0t+\varphi)}$$
其中，$A$是幅度，$\omega_0$是角速度，$\varphi$是初相。
在复平面上，复指数信号可以看作是一个长度为$A$的旋转向量，始端位于原点，从角度$\varphi$开始，以角速度$\omega_0$围绕原点旋转，其末端在复平面上的轨迹就是复指数信号$s(t)=Ae^{j(\omega_0t+\varphi)}$。如下图所示：
复指数信号在三维空间是螺旋的变化轨迹，与电磁波的传输方式一致，也与极化方式有关，这些都是后话，但是当时学习的时候并不是特别清楚。复信号的本质就是并行传输的2路实信号。之所以被称为复信号，只是因为这个信号可以用复数来表示而已。引入复信号只是为了便于描述和处理信号而已，实际通信系统中都是并行传输2路实信号，并没有传输虚数$j$。
复指数信号的特性
- 对一个复指数信号做积分，当积分区间取复指数信号周期的整数倍时，积分结果为零。复指数信号：
$$s(t)=Ae^{j(\omega_0t+\varphi)}$$
其积分特性为：
$$\int_{nT_0}s(t)dt=A\int_{nT_0}e^{j(\omega_0t+\varphi)}dt=0$$
其中，$n$是整数，$T_0$是复指数信号的周期。
- 正交特性
复指数信号集合${e^{j\omega_0t}, e^{j2\omega_0t}, e^{j3\omega_0t}, ...}$由基波$e^{j\omega_0t}$和二次谐波$e^{j2\omega_0}$等各次谐波组成。在这个复指数信号集合中：
- 任意1个复指数信号与另1个复指数信号共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为0：
$$\int_{T_0}e^{jm\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}dt=0\quad(m\neq n)$$
- 任意1个复指数信号与自身共轭的乘积在基波周期内的积分结果都为$T_0$：
$$\int_{T_0}e^{jm\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}dt=T_0\quad(m=n)$$