平行四边形属于特殊的梯形？你怎么看！
平行四边形属于特殊的梯形？你怎么看！
最近，关于新教材的一些培训都在陆续开展，一些新教材的内容也在陆续流出，大家对于教材上的一些改动也比较感兴趣，也陆续流出一些改动的地方。
这是网上的关于初中新教材内容上的一些改动。有些概念上的改动可能和之前的学习有所不同，自然会带来一些不适应。
其中有一条，梯形的定义发生了改变。今天，就一起来看看。
平行四边形是特殊的梯形吗？有一组对边平行的四边形是梯形吗？如果按照现行教材的定义来看，显然都是错误的。
在现行的中小学数学教材中，平行四边形与梯形这两个概念大多这样定义：“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。”“只有一组对边平行的四边形叫梯形。”（人教版四上《数学》第71页）
“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。”“一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。”（人教版八下《数学》第83页与106页）
但其实，关于梯形的定义一直都不只一种。学生也一直有“平行四边形属于不属于梯形”的问题。张奠宙先生在“分类和分层都重要“一文中有过这样的观点“平行四边形当然属于梯形的范围”。
第一、有一双对边平行的四边形，叫做梯形。
第二、有一双对边平行且另一双对边不平行的四边形，叫梯形。（或只有一组对边平行的四边形叫梯形）
采取第一种定义，那么平行四边形便是梯形的特殊形状。平行四边形和梯形是包含关系。
采取第二种定义，那么平行四边形就不是梯形的特殊形状。平行四边形和梯形是并列关系。
那到底哪一种定义好呢？这里把分别支持两种定义的观点进行罗列，供大家讨论。
支持第一种定义：
1.第一种定义的优点，在于它是清楚地按照逻辑分类叙述的。第二种定义则不是用的一种标准，而是同时采用了逻辑分类的两个连续阶段（1）一双对边的性质（2）另一双对边的性质。因而它不应该同时使用，而应该是顺次的。采用了第二种定义，我们便失去了逻辑的清晰性。
2.从图形所具有的性质来看，平行四边形宜为特殊的梯形。所有梯形的性质，很自然地（也就是不必再加证明）便用在平行四边形上（例如梯形中位线的性质）。
众所周知，梯形的面积计算公式（（上底+下底）×高÷2或中位线×高）、周长计算公式（四条线段之和）、内角和（360度）等。梯形所具有的一些公式、性质，平行四边形宜为特殊的梯形，即平行四边形为上底与下底相等的特殊梯形。
3.从图形的运动轨迹角度来看，平行四边形宜为特殊的梯形。
也就是说，四边形ABCD（即梯形ABCD）在所有的梯形的演变过程中，当且仅当AB=CD这一特殊情况时，四边形ABCD为平行四边形，不是梯形，其余情况均为梯形，这不符合人的思维习惯。
反之，如果图形ABCD为平行四边形，AB//CD，AD//BC，那么（1）如果A点（或B点）向B点（或A点）运动或做反方向运动；（2）如果C点（或D点）向D点（或C点）运动或做反方向运动，四边形ABCD都将变成一个梯形，因此，平行四边形宜为特殊的梯形。
其实，在学习梯形的面积时，也有过这样的拓展，把梯形公式看为“万能公式”，S=（a+b)h÷2。当a=b时，平行四边形就看成特殊的梯形；当a=0时，梯形就变成三角形。
4.从知识的逻辑性角度来说，平行四边形宜为特殊的梯形。四边形按对边是否平行的情况可分为：0组对边平行的四边形（即一般的四边形）、只有一组对边平行的四边形（即梯形）、有两组对边平行的四边形（即平行四边形）。这从分类学的角度是可以的。但从知识的逻辑性角度来说，并不贴切。
我们知道，两组对边分别平行应该是一组对边平行的特殊情况（即在四边形范围内，一组对边平行包括只有一组对边平行与有两组对边分别平行两种情况），而一组对边平行又是任意四边形的特殊情况（即任意四边形包括有一组对边平行与没有对边平行也就是0组对边平行两种情况）。
- 从知识研究过程的角度来看，平行四边形宜为特殊的梯形。大家知道，我们研究事物经常用到的方法是从特殊到一般，然后用一般的方法或结论去解决特殊的问题。对于四边形的研究，我们是从正方形（特殊的长方形）与长方形（特殊的平行四边形）开始，接着是平行四边形（特殊的四边形）。也就是说，如果我们对四边形的研究采用常用方法（即从特殊到一般：正方形—长方形—平行四边形—梯形—四边形）的话，那么平行四边形就宜为特殊的梯形。
支持第二种定义：
1.如果把平行四边形作为梯形，那么它就包含了等腰梯形。但是在以后证明的很多等腰梯形的性质，都是平行四边形所没有的。例如：等腰梯形的底角是彼此相等的；等腰梯形的对角线是彼此相等的；等腰梯形可有一外接圆等等。
一个数学概念的定义应当是揭示这个概念的内涵，反映概念所涉及的对象的本质属性。哪个定义更能说明这一类图形的本质呢？定义1相较定义2无疑是扩大了概念的外延，依照内涵与外延的反比例关系，扩大了概念的外延，必然要虽小概念的内涵。可以看到，按照定义1，梯形的图形特征确实变得不明显了。
如果这样，最好是将平行四边形的概念也重新定义。因为概念的定义必须是最简练的，应该选择离平行四边形最近的梯形为种概念，而不应当象现在课本那样选择四边形这个越级的概念为种概念。因此，更改梯形的定义，势必会影响了平行四边形的定义。
定义1还将给四边形的分类造成困难，不容易做到相称，不利于教学。平行四边形既然是梯形，则应该属于等腰梯形；矩形属于平行四边形，那么矩形既是等腰梯形又是直角梯形。这样就造成平行四边形、直角梯形、等腰梯形互不从属，而又互有公共部分，相当混乱。
以上就是支持定义1和定义2的两种观点。
这里，如果按照定义1对梯形定义，等腰梯形的定义也要发生改变，否则如果还按照“两腰相等的梯形叫等腰梯形”，那么平行四边形也是等腰梯形，但等腰梯形对角线相等的性质平行四边形满足。
所以等腰梯形的定义可以改为“两腰相等且两底角也相等的梯形叫等腰梯形。”支持第1种定义的学者认为：第一种定义的这些细小的不便（比如等腰梯形定义修改），在原则上和它的优点相比，是不太重要的。逻辑的清晰性永远放在第一位。
也一直有人讨论：“正方形是特殊的长方形，为什么不能说平行四边形是特殊的梯形呢？”
也有学者从约定论的数学哲理去讨论。他们认为不承认平行四边形是梯形是数学家或数学界的一种约定。无论平行四边形是不是梯形，这都反映了数学在一定程度上具有约定论的思想：揭示了数学的一些基本概念是数学家为了方便研究数学的人为规定。从某种程度上讲，数学概念并非是绝对的真理。这对理解小学数学具有一定借鉴意义与参考价值。
从数学是发明的观点来讲，平行四边形属于不属于梯形都是人类的一种创造，这种规定是否可行，需要依靠人类的实践活动来检查与验证。
如果是你，你更愿意接受哪种观点呢？也期待你的讨论。