贝塞尔曲线原理、推导及Matlab实现

贝塞尔曲线原理、推导及Matlab实现

一、简介

贝塞尔曲线提出

在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（Bézier curve）是计算机图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝兹曲面，其中贝兹三角是一种特殊的实例。

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝兹（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线特性

贝塞尔曲线有如下特性：

• 通过(n)个控制点(P_1, P_2, P_3, ..., P_n)控制曲线形状。
• 曲线只经过起点(P_1)和终点(P_n)。

二、原理

构建贝塞尔曲线

1. 一次曲线（线性）：
   一次贝塞尔曲线由两个端点(P_0)和(P_1)组成，曲线由线段直接连接这两个点，(B(t))描述一条由(P_0)至(P_1)的直线，可以视为一个(P_0)至(P_1)的连续中间点(Q_0)。

2. 二次曲线：
   二次贝塞尔曲线由定点(P_0, P_1, P_2)的函数(B(t))描述。为构建贝塞尔曲线，引入中间点(Q_0, Q_1)：

• (P_0, P_1)之间的连续点(Q_0)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (P_1, P_2)之间的连续点(Q_1)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (Q_0, Q_1)之间的连续点(B(t))，描述一条二次贝塞尔曲线。

3. 三次曲线：
   对于三次曲线，由定点(P_0, P_1, P_2, P_3)的函数(B(t))描述。可以加入三个可由线性贝塞尔曲线描述的中间点(Q_0, Q_1, Q_2)，和两个由二次贝塞尔曲线描述的点(R_0, R_1)来描述：

• (P_0, P_1)之间的连续点(Q_0)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (P_1, P_2)之间的连续点(Q_1)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (P_2, P_3)之间的连续点(Q_2)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (Q_0, Q_1)之间的连续点(R_0)，描述一条二次贝塞尔曲线；
• (Q_1, Q_2)之间的连续点(R_1)，描述一条二次贝塞尔曲线；
• (R_0, R_1)之间的连续点(B(t))，描述一条三次贝塞尔曲线。

4. 四次曲线：
   对于四次曲线，由定点(P_0, P_1, P_2, P_3, P_4)的函数(B(t))描述。可以加入四个可由线性贝塞尔曲线描述的中间点(Q_0, Q_1, Q_2, Q_3)，三个由二次贝塞尔曲线描述的点(R_0, R_1, R_2)，和两个由三次贝塞尔曲线描述的点(S_0, S_1)来描述：

• (P_0, P_1)之间的连续点(Q_0)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (P_1, P_2)之间的连续点(Q_1)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (P_2, P_3)之间的连续点(Q_2)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (P_3, P_4)之间的连续点(Q_3)，描述一条线性贝塞尔曲线；
• (Q_0, Q_1)之间的连续点(R_0)，描述一条二次贝塞尔曲线；
• (Q_1, Q_2)之间的连续点(R_1)，描述一条二次贝塞尔曲线；
• (Q_2, Q_3)之间的连续点(R_2)，描述一条二次贝塞尔曲线；
• (R_0, R_1)之间的连续点(S_0)，描述一条三次贝塞尔曲线；
• (R_1, R_2)之间的连续点(S_1)，描述一条三次贝塞尔曲线；
• (S_0, S_1)之间的连续点(B(t))，描述一条四次贝塞尔曲线。

5. 高阶曲线：
   由上文可知，为构建更高阶的曲线，需要引入更多的中间点。同理可推得五次曲线。

构建贝塞尔曲线公式

1. 一次曲线（线性）：
   设(P_0)的坐标为((\alpha, \beta))，(P_1)的坐标为((\lambda, \mu))，引入中间点(Q_0)的坐标为((x, y))，则有：
   [\frac{x - \alpha}{\lambda - x} = \frac{t}{1 - t} ]
   可推得：
   [x = (1 - t)\alpha + t\lambda \tag1 ]
   同理，可得：
   [\frac{y - \beta}{\mu - y} = \frac{t}{1 - t} ]
   可推得：
   [y = (1 - t)\beta + t\mu \tag2 ]
   整理可得：
   [\left( \begin{matrix} x \ y \end{matrix} \right) =(1 - t) \left( \begin{matrix} \alpha \ \beta \end{matrix} \right) + t \left( \begin{matrix} \lambda \ \mu \end{matrix} \right) \tag3 ]
   可将式((3))简写为：
   [B(t) = (1 - t) P_0 + t P_1, t \in [0, 1] \tag4 ]
   得到一次贝塞尔曲线公式。

2. 二次曲线：
   设(P_0, P_1)上的中间点为(Q_0)，(P_1, P_2)上的中间点为(Q_1)，(Q_0, Q_1)上的中间点为(R_0)，(R_0)即构建曲线的连续点。
   带入式((4))可得：
   [\begin{matrix} Q_0 = (1 - t) P_0 + t P_1 \ Q_1 = (1 - t) P_1 + t P_2 \ R_0 = (1 - t) Q_0 + t Q_1 \end{matrix} \tag5 ]
   将式((5))中的(Q_0)和(Q_1)代入(R_0)中，可得二次贝塞尔曲线公式：
   [B(t) = (1 - t) ^ 2 P_0 + 2 t (1 - t) P_1 + t ^ 2 P_2, t \in [0, 1] \tag6 ]

3. 三次曲线：
   同理，通过引入中间点(Q_0, Q_1, Q_2, R_0, R_1, S_0)，代入使用式((6))，可得三次贝塞尔曲线公式：
   [B(t) = (1 - t) ^ 3 P_0 + 3 t (1 - t) ^ 2 P_1 + 3 t ^ 2 (1 - t) P_2 + t ^ 3 P_3, t \in [0, 1] \tag7 ]

4. 高阶曲线：
   可以迭代得到四次、五次贝塞尔曲线的公式：
   [B(t) = (1 - t) ^ 4 P_0 + 4 t (1 - t) ^ 3 P_1 + 6 t ^ 2 (1 - t) ^ 2 P_2 + 4 t ^ 3 (1 - t) P_3 + t ^ 4 P_4, t \in [0, 1] \tag8 ]
   [B(t) = (1 - t) ^ 5 P_0 + 5 t (1 - t) ^ 4 P_1 + 10 t ^ 2 ( 1 - t) ^ 3 P_2 + 10 t ^ 3 (1 - t) ^ 2 P_3 + 5 t ^ 4 (1 - t) P_4 + t ^ 5 P_5, t \in [0, 1] \tag9 ]

三、推导

一般化

观察上文中(1)至(5)阶贝塞尔曲线，发现其各项中的常数系数满足组合数规律，故对于(n)阶贝塞尔曲线，给出定点(P_0, P_1, P_2, ..., P_n)，其贝塞尔曲线可用下式表示：
[B(t) = \left( \begin{matrix} n \ 0 \end{matrix} \right) (1 - t) ^ n t ^ 0 P_0 + \left( \begin{matrix} n \ 1 \end{matrix} \right) (1 - t) ^ {n - 1} t ^ 1 P_1 + \cdots + \left( \begin{matrix} n \ n - 1 \end{matrix} \right) (1 - t) ^ 1 t ^ {n - 1} P_{n - 1} + \left( \begin{matrix} n \ n \end{matrix} \right) (1 - t) ^ 0 t ^ n P_n, t \in [0, 1] \tag{10} ]
可化简为：
[B(t) = \sum_{i = 0}^\infty \left( \begin{matrix} n \ i \end{matrix} \right) (1 - t) ^ {n - i} t ^ i P_i, t \in [0, 1] \tag{11} ]
式中组合数:
[\left( \begin{matrix} n \ i \end{matrix} \right) = \frac{n !}{i ! \cdot (n - i) !} ]

多项式表达

同时，式((11))也可表示为：
[B(t) = \sum_{i = 0}^\infty b_{i, n}(t) P_i, t \in [0, 1] \tag{12} ]
其中多项式：
[b_{i, n}(t) = \left( \begin{matrix} n \ i \end{matrix} \right) (1 - t) ^ {n - i} t ^ i, i = 0, 1, 2, \cdots, n \tag{13} ]
式((13))被称作(n)阶Bernsteain多项式。

Bernsteain多项式：
假设开展一个实验，其成功的概率为(u)。若连续进行这个实验(n)次，成功的次数恰好为(i)次，那么其成功概率是多少呢？
能够确定成功概率为：(b_{i, n}(t) = \left( \begin{matrix} n \ i \end{matrix} \right) (1 - t) ^ {n - i} t ^ i, i = 0, 1, 2, \cdots, n)。
这便是Bernsteain多项式。

四、应用（Matlab实现）

实现目标

1. 能够进行控制点坐标的输入。
2. 计算贝塞尔曲线。
3. 绘制贝塞尔曲线及其控制点。

脚本编写

main.m（主函数，调用输入函数、贝塞尔曲线计算函数及绘制贝塞尔曲线）

%% 初始化
clc
clear
%% 输入
n = input("请输入控制点个数：\n");
P = pos_input(n);
%% 调用贝塞尔曲线计算函数
P = P';  % 坐标矩阵转置，便于曲线运算及绘图
[t, p] = bezier_curve(P, n - 1);  % 阶数为控制点个数 - 1
%% 绘制贝塞尔曲线
plot(t, p, '-b');  % 绘制贝塞尔曲线
hold on;
plot(P(1,:), P(2,:), '-ro');  % 绘制控制点
title(sprintf('贝塞尔曲线 (阶数： %d)', n - 1));
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
legend('贝塞尔曲线', '控制点');
hold off;

bezier_curve.m（贝塞尔曲线函数，计算n阶贝塞尔曲线）

function [Px, Py] = bezier_curve(control_points, order)
    % 计算贝塞尔曲线上的点
    t = linspace(0, 1, 1000);  % 在[0, 1]范围内生成点
    curve = zeros(2, numel(t));  % 初始化曲线矩阵，numel函数用于获取数组元素的数目
    for i = 0 : order
        curve = curve + nchoosek(order, i) * ((1 - t) .^ (order - i)) .* ...
        (t .^ i) .* control_points(:, i + 1);  % 该计算公式即上文中式（11），nchoosek函数用于计算组合数
    end
    Px = curve(1, :);
    Py = curve(2, :);
end

pos_input.m（输入函数，输入控制点坐标）

function P = pos_input(I)
   % 输入贝塞尔曲线控制点 
    P = ones(I, 2);  % 初始化坐标矩阵 
        for i = 1 : I
            P(i, :) = input("请输入输入坐标点P" + num2str(i - 1) + "（以一维矩阵形式输入）: \n");
        end
end

图像结果

六阶贝塞尔曲线：

十四阶贝塞尔曲线：