向量的叉乘运算法则及应用

向量的叉乘运算法则及应用

向量的叉乘（也称为外积或叉积）是向量空间中的一种二元运算，其运算结果是一个与原向量垂直的新向量。本文将详细介绍向量叉乘的计算方法、几何意义及其在物理学和计算机图形学等领域的应用。

向量叉乘的计算方法

1. 反交换律：a×b = -b×a
2. 加法的分配律：a×(b+c) = a×b + a×c
3. 与标量乘法兼容：(ra)×b = a×(rb) = r(a×b)
4. 不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0
5. 分配律、线性性和雅可比恒等式表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数
6. 两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b = 0

几何意义及其运用

叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：

• 混合积[abc] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

代数规则

1. 反交换律：a×b = -b×a
2. 加法的分配律：a×(b+c) = a×b + a×c
3. 与标量乘法兼容：(ra)×b = a×(rb) = r(a×b)
4. 不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0
5. 分配律、线性性和雅可比恒等式表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数
6. 两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b = 0

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

• (a×b)×c = b(a·c) - a(b·c)
• a×(b×c) = b(a·c) - c(a·b)