对数及运算法则
对数及运算法则
对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于科学、工程、经济等领域。从天文学中的星等计算到生物学中的细胞分裂，从物理学中的声强计算到化学中的pH值计算，对数无处不在。本文将带你深入了解对数的基本概念、定义、性质以及运算法则，帮助你掌握这一重要的数学工具。
1. 对数源于指数，是指数函数反函数
因为：(y = a^x)
所以：(x = \log_a y)
2. 对数的定义
【定义】如果 (N=a^x)（(a>0,a≠1)），即a的x次方等于N（(a>0)，且(a≠1)），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：
(x=\log_a N)
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做 “以a为底N的对数”。
2.1 对数的表示及性质：
- 以a为底N的对数记作：(\log_a N)
- 以10为底的常用对数：(\lg N = \log_{10} N)
- 以无理数e（(e=2.71828...)）为底的自然对数记作：(\ln N = \log_e N)
- 零没有对数.
- 在实数范围内，负数无对数。在虚数范围内，负数是有对数的。
自然对数的底数 e
自然对数的底数 e：https://www.guokr.com/article/50264/
细胞分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢？答案是：
当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
3. 对数函数
【3.1 定义】
函数
叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量。对数函数的定义域是
。
【3.2 函数基本性质】
- 过定点
，即x=1时，y=0。
- 当
时，在
上是减函数；
当
时，在
上是增函数。
4. 对数运算法则(rule of logarithmic operations）
对数运算法则，是一种特殊的运算方法。指 积、商、幂、方根 的对数的运算法则
由指数和对数的互相转化关系可得出:
两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即：
两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差，即：
一个正数幂的对数，等于幂的底数的对数乘以幂的指数，即：
若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数，等于被开方数的对数除以根指数，即：
推导
5. 对数公式
5.1 基本知识
①
；
②
；
③ 负数与零无对数.
④
=1；
⑤
；
5.2 恒等式及证明
(a^{\log_a(N)}=N) ((a>0) ，(a≠1)）
对数公式运算的理解与推导by寻韵天下(8张)
推导：(\log_a (a^N)=N)恒等式证明
在(a>0)且(a≠1)，(N>0)时
设：当(\log_a(N)=t)，满足((t∈R))
则有(a^t=N)；
(a^{\log_a(N)}=a^t=N)；
证明完毕