数学界重大突破：百年难题r(4,t)终被破解

数学界重大突破：百年难题r(4,t)终被破解

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网易

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https://www.163.com/dy/article/IVH33L8V0553XSFT.html

近日，加州大学圣地亚哥分校的Jacques Verstraete和Sam Mattheus在拉姆齐理论中取得重大突破，成功解决了困扰数学界近一个世纪的r(4,t)问题。这一发现不仅为数学研究开辟了新的方向，也展示了数学家们在面对复杂问题时的坚持与毅力。

拉姆齐理论是图论中的一个重要分支，主要研究在足够大的图中必然存在的某种秩序。用r(s,t)来表示，其中s代表有连接的点，t代表没有连接的点。最著名的拉姆齐问题之一是r(3,3)，也被称为“朋友和陌生人定理”。该定理指出，在一场聚会上，如果有六个人，你至少会找到三个互相认识的人或者三个互相不认识的人。这个定理的答案是六。

然而，随着问题规模的扩大，求解难度急剧增加。例如，r(4,4)的解答是18，这个证明是在1930年代由Paul Erdös和George Szekeres提出的。而r(5,5)的解则在40到50之间，从45个点开始，需要考虑的图的数量将超过10234个！

Verstraete和Mattheus通过研究伪随机图，发现了一种新的方法来逼近这些问题的答案。他们发现，与随机图相比，伪随机图能提供更好的上下界估计。这意味着他们离真相越来越近了。

在解决了r(3,t)问题后，Verstraete和Mattheus开始着手解决r(4,t)问题。他们结合了组合数学、有限几何、代数和概率论等多个数学领域的知识，最终发现r(4,t)接近于t的三次方函数。这意味着，如果你想要在聚会上找到四个互相认识或不认识的人，你需要大约t^3个人。

这项研究的成功不仅仅是一个数学问题的解答，更是对坚持和毅力的最好证明。正如Verstraete经常提醒他的学生：“如果一个问题很难，你被困住了，那意味着这是一个好问题。一个好问题会反击。你不能指望它自己揭示答案。”

这项研究的成果发表在《Annals of Mathematics》上，论文DOI为10.4007/annals.2024.199.2.8。