为什么三角形的重心为三边中线交点？

为什么三角形的重心为三边中线交点？

在数学和物理学中，三角形的重心是一个重要的几何概念。它不仅是三边中线的交点，还具有许多有趣的性质。本文将通过直观且严谨的方式，证明三角形的重心确实位于三边中线的交点。

一、三边直线交于一点的几何证明

已知：D、E为AB、BC边中点。求证：F为AC中点。

首先，通过中点D我们可以推出一堆面积相等，

在粉色里扣去绿色，

同理，由中点E得，

于是，

将BG看作两个三角形的底，两个三角形面积相等，底相等，于是，

高相等。于是，

所以F为AC中点。

二、关于重心的探讨

你觉得哪块板子会掉下去？很明显是下面的，于是，我们得出关于重心的第一个结论：

①当重心未被支撑时，物体会因重力而摔落。

用脚趾头想想可以知道：

②两质量相同的物体相连后，总重心为两者重心的中点。

你觉得哪块板子会掉下去？很明显是上面的。为什么？因为两块物体的重心都被这条线支撑住了。再把两块板子看成一个整体，为什么这一整体没有掉下去？因为这一整体的重心在这条线上。于是我们得出结论：

③两个物体相连后，总重心一定在两物体重心的连线上。

三、三角形的重心

前面说了，三角形的重心为三边中线交点，那么，这个重心肯定在三角形的任意一条中线上，让我们对其中一条进行探讨。

这里展示平面图可能会更好让大家理解：

我们可以用很多个底长为dx的小平行四边形对三角形进行近似：

为了让大家看得更清楚，我这里用少一点的平行四边形

1)面积相等的证明

我们将满足图上条件的平行四边形配对（称其为“一对平行四边形”），我们需要证明这两个平行四边形面积相等，即质量相同。因为这两个平行四边形的底相等，所以我们只要证明高相等，

注：下文中“底边”指此图中的线段BC

也就是证明DF//GI。

已知：E为BC与DF中点，DG//AE//FI。求证：DF//GI。

不妨把这个当作一个几何小练习，看看自己相似三角形学好了没，在评论中写下你的证明过程。

于是我们知道了，满足图上条件的平行四边形的面积相等。

2)一对平四的重心

首先，毋庸置疑的是，一个平行四边形的重心为对角线的交点，，那么这两个面积相等（即质量相等）的平行四边形的总重心为这两个平行四边形重心的中点。

已知：O₁为▱ABCD的对角线交点，O₂为▱EFGH的对角线交点，其他条件不变。求证：交点O为O₁O₂中点。

同样地，不妨把这个当作一个几何小练习，在评论中写下你的证明过程。

于是，这样一对平行四边形的重心在三角形的底边的中线上。

3)所有重心的总汇

从2)我们知道，任意一对平行四边形，它的重心在三角形底边的中线上。所以整个近似的“三角形”的重心在底边的中线上。

但如果我们把平行四边形的底dx选得越来越小：

近似的三角形就越来越贴近真正的三角形，于是我们可以推出，三角形的重心在底边的中线上。又因为这个底边是随便选的，所以三角形的重心在三边的中线上，即三角形三边中线交点。

证出来了！！！