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有关多项式函数的极值点与拐点性质的探索(下篇)

创作时间:

作者:

@小白创作中心

有关多项式函数的极值点与拐点性质的探索(下篇)

引用

来源

https://www.bilibili.com/read/cv34233649/

本文是关于多项式函数极值点与拐点性质的数学探索文章，主要讨论了多项式函数的零点、极值点和拐点之间的关系，并通过罗尔中值定理、代数基本定理和一个称为"降重定理"的重要结论，推导出一系列关于多项式函数性质的结论。文章内容深入且系统，包含了详细的数学证明和具体的例子，适合对数学感兴趣的读者阅读。

续上一篇文章有关多项式函数的极值点与拐点性质的探索(上篇)，把文末的遗留的几个结论予以证明~
另外再度声明，这种文章普遍偏长，若无耐心观看，可以收藏以下的总结。就只让好奇者耐下性子看完这些结论的证明吧~
穿针引线的口诀
前置知识：罗尔中值定理，代数基本定理，已经一个重要结论：
若
为多项式函数f(x)的n重零点，则
为f'(x)的n-1重零点
这个结论也在前篇文章的开头给出证明了，接下来以这两个定理和这个重要结论(为了方便姑且先叫“降重定理”吧，尬名字倒不重要~)，来推出一些有关多项式函数的奇妙性质

温故而知新

在此之前，我们再把由f(x)推出f'(x)形式的推导写一遍：
设
其中
为正整数
一方面，对
共k-1个闭区间上分别使用罗尔定理，从而得到
共k-1个f'(x)的零点，它们分别落在开区间
注意，此时由罗尔中值定理得到的零点只是存在性，也即这每个开区间内都至少存在一个f'(x)的零点，到目前为止我们取的ξ只是各个开区间内的其中一个
另一方面，由“降重定理”可得：
分别为f'(x)的
重零点
特别地，当
取1时就得到
为f'(x)的0重零点，也即不是f'(x)的零点。而0参与加法后不改变原来的值，因此后续统计根的总数时这类特殊情况无须单独考虑
于是f'(x)至少有
个根
又由于f(x)是
次函数，则f'(x)是
次函数，从而由代数基本定理得，f'(x)有且仅有
个根
这说明什么？这意味着我们由罗尔定理+降重定理找到的根不多不少刚刚好！因此我们得出结论：由罗尔定理得到的根为单根。
如果顺着推还有点糊涂，那不妨再用反证法来加强信服：由罗尔定理得到每个开区间上至少有1个根，假设某个开区间上存在不止一个f'(x)的根，那么f'(x)的总次数会超过
，这是与f'(x)次数矛盾的，从而假设不成立，这说明每个开区间上有且仅有1根！从而也就证明了
皆为f'(x)的单根。
于是再根据代数基本定理可知，f'(x)可因式分解为如下形式：

f'(x)根的分布图
下面观察
这些根，也即都为f'(x)的单根
于是再根据“降重定理”可知，
全都不是f''(x)的根，即
这说明
为变号零点，从而
就是f(x)的极值点
直观图解如下：
注意这是f'(x)的图像，在x=ξ处切线斜率不为0，那么甭管是>0还是<0，这个ξ两侧总会异号，因此为变号零点。严格些就是根据极限保号性取一个小邻域来证，可参详：极值的第二判别法
而
又是分别落在开区间
上的，因此说明f(x)在这些开区间上存在唯一极值点。于是我们得到如下结论：

(1)相邻两个零点之间存在唯一极值点

进一步地，我们再探讨：
我们前面已经证明了，对f(x)相邻两区间上使用罗尔定理得到的根是单根。那么我把导函数f'(x)视为一个新的多项式函数，这个定理也照样能接着用呀，因为f'(x)也被写成这种因式分解的形式了。
于是同理可得，在
每个开区间内，都存在唯一一个
使得
，且
皆为f''(x)的单根，也即为f''(x)的变号零点，因此这些皆为f(x)的拐点，于是我们得到如下结论：

(2)相邻两个驻点之间存在唯一拐点

讨论完了由中值定理得到的
，我们再来讨论f(x)的零点
处的情况
①若
为f(x)的单根，那么根据“降重定理”知
不是f'(x)的根，于是我们得到结论：

(3)单根处的切线一定不水平

②若
为f(x)的偶数重根，那么根据“降重定理”知
为f'(x)的奇数重根，也即f'(x)的变号零点，从而
为f(x)的极值点，于是我们得到结论：

(4)若x=x0为f(x)的≥2的偶数重根，则x=x0为f(x)的极值点

③若
为f(x)的奇数(≥3)重根，那么根据“降重定理”知
为f'(x)的偶数重根，再对f'(x)使用“降重定理”知
为f''(x)的奇数重根，也即f''(x)的变号零点，从而
为f(x)的拐点，于是我们得到结论：

(5)若x=x0为f(x)的≥3的奇数重根，则x=x0为f(x)的拐点

这样在零点处的性质也讨论完了，接下来我们把前文提及的所有结论总结为如下表：
有了以上这5条准则，下面就可以画出满足形态的f(x)的图像了，采用穿针引线法
先以一道题为例：画出
的大致图像，要求能体现：正负性、单调性、凸凹性

步骤[1]：标出零点，从右上方往左穿

简单来说就是在右上方准备好一条“绳子”，画出一部分
原理：显然当x>4时，每个因式都是正的，因此f(x)是正的，所以要“从右上方”穿

步骤[2]：从右往左穿，奇穿偶不穿，判断零点和极值处形态

并根据前面的5条准则画出部分的形态：
首先是x=4处，根据准则(4)可知其为极值点，且为不变号零点，于是x=4处的形态“类似于”二次函数x²(注意是类似于)
根据准则(5)可知其为拐点，且为变号零点，于是x=4处的形态“类似于”三次函数x³
同理，根据准则(4)可知x=2处的形态“类似于”二次函数x²
根据准则(3)结合两侧正负可以x=1处切线斜率＜0，形态“类似于”一次函数-x
这里的“类似于”是什么意思呢?指的是形态相近的两者在此处的“正负性，单调性，凸凹性”都相同。
再根据准则(1)可得每个区间上有唯一的极值点，具体是极小还是极大就看其在x轴上下方就好了，也就是图中相邻两零点之间的那些线。

最后判断凸凹性

在每个驻点处标出凸凹性，然后根据准则(2)可知相邻两个驻点间存在唯一一个拐点(凸凹分界点)，因此标出拐点的一个位置，并用曲线平滑连接即完成穿线
从而由图可以得出驻点共有6个，极值点共有5个，拐点共有6个
另外，准则(1)(2)可以加强为:

(1)相邻两个零点之间存在唯一极值点，且极值点只存在于以相邻两零点为端点的开区间内

(2)相邻两个驻点之间存在唯一拐点，且拐点只存在于以相邻两驻点为端点的开区间内

原理很简单，毕竟(1)就是对f(x)使用罗尔定理得到的ξ，(2)就是对f'(x)使用罗尔定理得到的μ嘛，唯一性在前文也已经证明过了。
由此，我们以严谨的代数证法为理论支撑，把穿针引线法各个细节的严谨性进行了说明(当然或许还需要更细节些吧，厚着脸皮说我还真想教会读者的(( ))~)，总结为如下口诀：

从右(上)往左穿，奇穿偶不穿。

单根类一次，偶重类二次，奇重类三次。

两零夹一极，两驻夹一拐。

口诀现编现用的，感兴趣的读者可以根据自己需要改编成更顺口溜的台词~
注明：口诀中的奇偶指的是重数的奇偶性。“类一/二/三次”分别指的是：f(x)单根处的形态类似一次函数；偶次重根处的形态类似二次函数；奇次重根处的形态类似三次函数。

最后，完成一道前篇遗留的问题

求

的零点，驻点，极值点，拐点个数？
零点：
零点很简单，显然有k个
驻点：
根据准则(1)，在(1,2),(2,3),...(k-1,k)这k-1上各有唯一的一个极值点
再根据“降重定理”，x=2,3,...,k为f(x)的驻点
综上，驻点共有(k-1)+(k-1)=2k-2个

f'(x)根的分布图
极值点：
根据准则(4)，进行分类讨论：
[1]若k为奇数，则x=2,4,6,...,k-1为f(x)极值点，共
个
[2]若k为偶数，则x=2,4,6,...,k为f(x)极值点，共
个
综上，若k为奇数，则f(x)极值点共有
个；
若k为偶数，则f(x)极值点共有
个；
拐点：
根据文章开头的推导，f'(x)的形式为：

如图，这里共有
个区间
这个数中第一个k-1是算ξ1到ξ(k-1)共k-1个零点，k-1-1是其中间夹着的零点，最后一个+1是再加上最右边的x=k这个根，最后再减去1也就是相邻两零点可构成的区间数(也即"间隔数")
于是根据准则(2)可得这些开区间上共
个拐点
另一方面，根据“降重定理”得：
x=3为f''(x)的1重根，x=4为f''(x)的2重根，，，x=k为f''(x)的k-2重根
我们再来判断这些重根的奇偶性
[1]若k为奇数，则x=3,5,...,k为f(x)拐点，共
个
[2]若k为偶数，则x=3,5,...,k-1为f(x)拐点，共
个
综上，若k为奇数，则f(x)拐点共有
个；
若k为偶数，则f(x)拐点共有
个
综上所述：
f(x)共有k个零点，2k-2个驻点；
若k为奇数，则f(x)共有
个极值点，
个驻点；
若k为偶数，则f(x)共有
个极值点，
个驻点