高中圆的标准方程和一般方程_高中数学知识点解答

高中圆的标准方程和一般方程_高中数学知识点解答

本文详细介绍了高中数学中圆的标准方程和一般方程的相关知识，包括圆的标准方程的推导、圆的一般方程的转换以及圆的其他相关性质。文章结构清晰，从基本概念到具体公式，再到应用实例，层层递进，适合高中生学习和复习使用。

问题：高中圆的标准方程和一般方程

解答：

圆的标准方程：（x-a）² +（y-b）² =R²。圆的一般方程：x² +y² +Dx+Ey+F=0（D² +E² -4F＞0）。

标准方程

圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。结论如下：（x-a）² +（y-b）² =R²

当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x² +y² =R²

圆的一般方程

圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：

x² +y² -2ax-2by+a² +b² -R² =0

设D=-2a，E=-2b，F=a² +b² -R²；则方程变成：

x² +y² +Dx+Ey+F=0

任意一个圆的方程都可写成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x²项和y²项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。

Ax² +Bxy+Cy² +Dx+Ey+F=0

圆的端点式：

若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x² +y² =r² 上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²

在圆（x² +y² =r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。