电机控制专题(一)——最大转矩电流比MTPA控制
电机控制专题(一)——最大转矩电流比MTPA控制
电机控制专题(一)——最大转矩电流比MTPA控制
前言
MTPA全称为Max Torque Per Ampere，从字面意思就可以知道MTPA算法的目的是一个寻优最值问题，可以从以下两个角度理解。
- 在同一电磁转矩需求下，如何利用最小幅值的定子电流来产生；
- 在同一额定电流情况下，如何合理利用定子电流产生最大的电磁转矩。
本文先从理论推导开始，再到仿真验证MTPA算法，总结MTPA的相关知识。
理论推导
记转矩角（电流矢量与d轴夹角）为γ，则dq轴电流可以表示如下：
$$
i_d = I_s \cos \gamma
$$
$$
i_q = I_s \sin \gamma
$$
其中I_s为定子电流幅值。
dq轴下PMSM的转矩方程为：
$$
T_e = \frac{3}{2}p_n[i_q\psi+(L_d-L_q)i_di_q]
$$
其中p_n为极对数，ψ为永磁体磁链，L_d, L_q分别为dq轴的电感。式右边的第一项成为永磁转矩，第二项称为磁阻转矩。
将式(1)(2)代入式(3)并化简可得
$$
T_e=\frac{3}{2}p_nI_s\psi \sin\gamma + \frac{3}{4}p_nI_s^2(L_d-L_q)\sin2\gamma
$$
MTPA可以从两个角度理解
- 最小的电流产生同等大的电磁转矩
- 同等大小的定子电流产生最大的电磁转矩
因此从第二个角度理解MTPA，就变成了求(4)式的在I_s恒定，以转矩角γ为变量的极值问题。
对(4)式求偏导并另其等于0，化简可得：
$$
\frac{\partial T_e}{\partial \gamma}=2I_s(L_d-L_q)\cos^2\gamma +\psi \cos\gamma -I_s(L_d-L_q)=0
$$
(5)式是一个一元二次方程，利用求根公式可解得：
$$
\cos \gamma_1 = \frac{-\psi + \sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)^2}}{4I_s(L_d-L_q)} ,\cos \gamma_2 = \frac{-\psi -\sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)^2}}{4I_s(L_d-L_q)}
$$
求解得到的两个转矩角究竟哪一个是我们想要的呢？
容易注意到ψ < \sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)^2}，且绝大多数的IPMSM的d轴电感小于q轴电感。因此\cos \gamma_1<0,\cos \gamma_2>0。
MTPA就是要利用电机的凸极效应，合理分配定子电流一部分作为i_d，另一部分作为i_q，i_d可以用于产生磁阻转矩（电磁转矩式3等式右边的第二项）。因此d轴电流只能是负的。
那么由式(1)可知\cos \gamma<0。
因此真正能实现MTPA的转矩角为
$$
\gamma =\arccos( \frac{-\psi +\sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)^2}}{4I_s(L_d-L_q)})
$$
此时的d轴电流和q轴电流可计算得
$$
i_d = I_s\cos\gamma =I_s \frac{-\psi +\sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)^2}}{4(L_d-L_q)}
$$
$$
i_q=\sqrt{I_s^2-i_d^2}
$$
值得一提的是，转速环的输出应当是转矩指令值，而转矩和电流存在一定的线性关系，因此可以直接作为电流指令值。最简单的矢量控制i_0 \equiv 0中，转速环的输出直接作为q轴电流的指令值；而在MTPA中，转速环输出的转矩指令值，应当由整个全部的定子电流来提供，即转速环的输出为定子电流幅值指令值，而非q轴电流指令。
仿真验证
为了直观看出使用MTPA的有效性，对一台具有高凸极比IPMSM（磁阻转矩成分更大）进行仿真。
仿真参数设置如下：
L_d= 3.5mH,L_q=12mH,\psi=0.17Wb,U_{dc}=311V
转速500rpm，带轻载（1Nm）和带重载（30Nm）工况下运行。0.1s之前施加i_d\equiv0控制，0.1s后施加MTPA算法，总仿真时间0.2s。
轻载1N·m
dq轴电流和三相电流波形图下
可见在施加MTPA控制之后并没有明显的效果。
原因如下：
由于所带负载较小，定子电流的幅值也小。此时的转矩角
$$
\gamma =arccos( \frac{-\psi +\sqrt{\psi^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)})\approx arccos(\frac{-\psi+\sqrt{\psi^2}}{4I_s(L_d-L_q)})=90\degree
$$
此时的d轴电流指令值I_d\approx I_s\cos \gamma =0。
所以施加MTPA之后，并没有客观的负的d轴电流来产生磁阻转矩。
重载30N·m
dq轴电流和三相电流波形图如下
仿真结果说明，在带重载的情况下，所需的电磁转矩大，施加MTPA控制以后，d轴指令值从0变为-10A，q轴指令值从30降为18A，即利用了电机的凸极效应，合理分配了相电流以产生磁阻转矩。
从三相电流波形可以看出，施加MTPA后，定子电流幅值从30A减为20A，即使用更小的定子电流产生同等的电磁转矩，此即MTPA的目的。
总结
MTPA算法的目的在于充分利用电机的凸极效应来合理分配电流，其中一部分用于产生永磁转矩，另一部分用于产生电磁转矩，达到小电流，大转矩的效果。
值得注意以下两点
- MTPA的推导基于精确的电机模型，但实际情况下电机模型参数大多是未知，且容易收到温度等因素的干扰。因此在实际应用该算法时需注意模型参数的敏感性，必要时需结合在线参数辨识等技术。
- 在实际应用中，为了减小微控制器的运算负担，式(8)(9)并不会在线计算。而是通过提前离线计算并制表，在线查表的方式来得到dq轴电流设定。