使用一元函数定积分求面积、体积、周长、表面积

使用一元函数定积分求面积、体积、周长、表面积

本文详细介绍了如何使用一元函数的定积分来计算面积、体积、弧长和表面积等常见问题。主要内容包括：计算曲线所围成的面积、计算旋转体的体积、计算平面曲线的弧长以及计算旋转曲面的表面积。文章通过详细的推导和实例，帮助读者理解并掌握利用定积分解决实际几何问题的方法。

计算曲线(y = f(x))所围成的面积

等价于计算在区域上的二重积分(\displaystyle \iint_D 1 dA)。根据情况决定积分顺序计算二重积分即可。

计算曲线(y = f(x))绕(x)轴旋转一周所围成的体积

等价于计算在区域上的三重积分(\displaystyle \iiint_V 1 dV)。先对横截面积分再对高度积分。

[ \begin{array}{rl} \displaystyle V &= \displaystyle \iiint_V 1 dV \ &= \displaystyle \int_a^b \iint_{D_x} 1 dA dx \ &= \displaystyle \int_a^b \pi f(x)^2 dx \end{array} ]

当曲线由极坐标方程(r = r(\theta))给出时，通过计算(\displaystyle \int_a^b \pi y^2 dx)可以得到体积。其中，(y = r(\theta) \sin \theta)，(dx = d\big(r(\theta) \cos \theta\big))。

计算曲线(y = f(x))绕(y)轴旋转一周所围成的体积

求解如图所示的区域绕(y)轴旋转一周所得体积。有两种方法：

通过微元法可以得到(\displaystyle dV = \pi [(x + dx)^2 - \pi x^2]y = 2\pi xy dx)，从而

[ V = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) dx ]

参照绕(x)轴旋转一周所得体积的方式（用直线(y = f(a))将区域分成两个部分进行计算），可以得到：

[ V = \pi (b^2 - a^2) f(a) + \int_{f(a)}^{f(b)} \pi (b^2 - x^2) dy ]

这两种方法给出的结果可以通过分部积分法互相转换。在第二种方法中，令(y = f(x))，从而

[ \begin{array}{rl} \displaystyle V &= \displaystyle \pi (b^2 - a^2) f(a) + [f(b) - f(a)] \pi b^2 - \int_{a}^{b} \pi x^2 df(x) \ &= \displaystyle - \pi a^2 f(a) + \pi b^2 f(b) - \pi x^2 f(x) \Big|{a}^{b} + 2 \int{a}^{b} \pi x f(x) dx \ &= \displaystyle \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) dx \end{array} ]

计算平面曲线(\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases})的弧长

等价于计算第一类曲线积分(\displaystyle \int_L 1 ds)。

[ \begin{array}{rl} \displaystyle L &= \displaystyle \int_L 1 ds \ &= \displaystyle \int_{t1}^{t2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \end{array} ]

当曲线由(y = f(x))给出时，弧长的微分(\displaystyle ds = \sqrt{1 + (f'(x))^2}dx)。

对弧长微分的推导：

曲线弧长的定义：设 $A$、$B$ 为平面曲线 $\Gamma$ 的两端点，在 $\Gamma$ 上按顺序任意取点 $M_0 = A, M_1, M_2, \cdots, M_n = B$，连接 $M_0, M_1, M_2, \cdots, M_n$，得到折线 $M_0M_1M_2\cdots M_n$。 记 $\displaystyle \lambda = \max_{1 \leq i \leq n} \overline{M_{i-1} M_i}$，$\displaystyle s = \sum_{i=1}^n \overline{M_{i-1} M_i}$，如果 $\displaystyle \lim_{\lambda \to 0} s$ 存在，并且与 $M_i$ 的选取无关，则称此极限为曲线 $\Gamma$ 的弧长。

计算当参数 $t$ 增加 $\Delta t$ 时，曲线上的两点之间的距离 $\Delta s$。 当 $\Delta t \to 0$，$\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$（来自曲线弧长的定义）。

而

$$
\begin{array}{rl}
\displaystyle \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} &= \displaystyle \sqrt{(\varphi(t + \Delta t) - \varphi(t))^2 + (\psi(t + \Delta t) - \psi(t))^2} \
&= \displaystyle \sqrt{(\varphi'(\xi) \Delta t)^2 + (\psi'(\eta) \Delta t)^2} \qquad (\xi, \eta \in (t, t + \Delta t)) \
&= \displaystyle \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2} \Delta t \
&= \displaystyle \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \Big(-\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big)\Delta t
\end{array}
$$

现证明 $\Big(-\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big)\Delta t$ 是 $\omicron(\Delta t)$：

$$
\begin{array}{rl}
& \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Big(-\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big)\Delta t}{\Delta t} \
=& \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \Big( - \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big) \
=& \displaystyle -\lim_{\Delta t \to 0} \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \lim_{\Delta t \to 0} \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2} \
=& \displaystyle -\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \
=& \displaystyle 0
\end{array}
$$

从而 $\displaystyle \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t)$。也即 $\displaystyle \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 的微分形式为 $\displaystyle \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt$。 从而 $\displaystyle ds = \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt$。

当曲线由(r = r(\theta))给出时，弧长的微分(\displaystyle ds = \sqrt{(r(\theta))^2 + (r'(\theta))^2}d\theta)。这个公式通过(\displaystyle ds = \sqrt{d\big(r(\theta) \cos \theta \big)^2 + d\big(r(\theta) \sin \theta \big)^2})推导得到。

计算平面曲线(\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases})绕(x)轴旋转一周所得立体的表面积

使用第二类曲线积分然后使用高斯定理进行计算不是一个好的选择。

使用微元法，可以得到：

$$
\begin{array}{rl}
\displaystyle S &= \displaystyle \int_L 2\pi y ds \
&= \displaystyle \int_{t1}^{t2} 2\pi \psi(t) \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt
\end{array}
$$

直观解释：对每一小段曲线(ds)计算其绕(x)轴旋转一周所得周长，然后将所有小段曲线的周长累加起来。

Note：(\displaystyle S \neq \int_{a}^{b} 2\pi y dx)

对表面积微元的推导：

使用微元法，计算 $[t, t + \Delta t]$ 小段上的曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得的小圆台的侧面积 $\Delta S$。 与计算平面曲线的长度时一致，当 $\Delta t \to 0$ 时，可以将原本是小段曲线的圆台母线 $\Delta s$ 近似为长为 $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 的直线，从而侧面积

$$
\begin{array}{rl}
\displaystyle \Delta S &\approx \displaystyle \pi (R + r) l \
&= \displaystyle \pi (2y + \Delta y) \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \
&= \pi (2y + \Delta y) \Big( \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t) \Big) \
&= 2 \pi y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \pi \Delta y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t) \
\end{array}
$$

又

$$
\begin{array}{rl}
&\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t}{\Delta t} \
=& \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \psi'(\eta) \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2}\Delta t \qquad (\eta \in (t, t + \Delta t)) \
=& \displaystyle 0
\end{array}
$$

从而，$\displaystyle \Delta S = 2\pi y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t)$，即

$$
dS = 2\pi y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt = 2\pi y ds
$$