定积分的应用：从图形面积到旋转曲面

定积分的应用：从图形面积到旋转曲面

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/2302_76305195/article/details/131388096

本篇将从几个简单的例子带大家分析总结定积分的应用中常用的方法和思想，一起学习进入定积分的世界

一、求所围图形的面积

1. 求由抛物线 $y = x^2$ 与 $y = 2 - x^2$ 所围图形的面积

思路：

1. 计算交点
2. 利用微元法计算出局部量的近似值
3. 最后无限累加求出整体量的精确值

分析图解如下：

过程如下：

2. 求由摆线 $x = t - \sin t$; $y = 1 - \cos t$ 的一拱与x轴所围成图形的面积

（很多情况下，题目中的a都为1）

这个题如同上道题目一样，我们采用微元法进行分析。

图解分析：

过程如下：

3. 求心形线 $r = 1 + \cos \theta$ 所围图形的面积

心形线：

图解分析：

过程如下：

二、绕轴旋转所围成立体的体积

求平面曲线 $y=\sin x$，$0\leq x\leq \pi$ 绕x轴旋转所围成立体的体积

这个同分析平面图形面积一样，依然可以采用微元法进行分析（尤其是绕x轴旋转）

我们取一局部旋转体，计算其体积。

这时候局部旋转体的体积可以看作是底面半径为y，高度为dx的小圆柱体

最后无限累加求出整体的值

图解分析：

过程如下：

三、计算弧长

求摆线 $x = t - \sin t$; $y = 1 - \cos t$ 的一拱的弧长。

首先我们简要利用图形推算一下弧长的计算公式。

若是参数形式，也同理：

那么摆线的弧长：

四、旋转曲面的面积

求平面曲线 $y=\sin x$，$0\leq x\leq \pi$ 绕x轴旋转所得旋转曲面的面积。

利用微元法

计算局部一个小圆台的表面积（画图更加清晰）

图解分析：

过程如下：